Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

7. (2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}2x+y+3z=2\\ 3x+y+z=0\\ 8x+ay+5z=2\end{array}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores de $a$.
b) Resuelva el sistema de ecuaciones para $a=3$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y discutimos por el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 3& 1& 1\\ 8& a& 5\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 3& 2\\ 3& 1& 1& 0\\ 8& a& 5& 2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=10+8a+27-24-2a-15=7a-21$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=3$

Si $a\mathrm{\ne }3$, entonces $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado.

Si $a=3$, la tercera ecuación es la primera más el doble de la segunda, también en el término independiente.

$(2,1,3\mathrm{\mid }2)+2(3,1,1\mathrm{\mid }0)=(8,3,5\mathrm{\mid }2)$

La tercera ecuación es redundante, así que $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado.



Para $a=3$ nos quedamos con las dos primeras ecuaciones y dejamos una incógnita libre, $z=\lambda$.

$\{\begin{array}{l}2x+y=2-3\lambda \\ 3x+y=-\lambda \end{array}$

Restando la primera ecuación de la segunda se despeja $x$.

$x=-\lambda -2+3\lambda =2\lambda -2=2(\lambda -1)$

$y=-\lambda -3x=-\lambda -6\lambda +6=6-7\lambda$

$(x,y,z)=(2(\lambda -1),6-7\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Para $a=3$ el sistema tiene infinitas soluciones, una por cada valor real de $\lambda$.