Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

PREGUNTA 1. Álgebra.
Disponemos de tres granjas A, B y C para la cría ecológica de pollos. La granja A tiene capacidad para criar un 20% más de pollos que la granja B, y la granja B tiene capacidad para criar el doble de pollos que la granja C. Se sabe además que entre las tres granjas se pueden criar un total de 405 pollos.

a) Formule el sistema de ecuaciones asociado a este problema.
b) Resuelva el sistema de ecuaciones anterior. ¿Cuántos pollos se pueden criar en cada una de las tres granjas?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Formule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{asociado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{problema.}}$

Llamamos $x$ a los pollos que puede criar la granja A, $y$ a los de la granja B y $z$ a los de la granja C.

La granja A cría un 20 % más de pollos que la B $\Rightarrow$ $x=\mathrm{1,2}y$.

La granja B cría el doble que la C $\Rightarrow$ $y=2z$.

Entre las tres se crían 405 pollos $\Rightarrow$ $x+y+z=405$.

$\{\begin{array}{l}x-\mathrm{1,2}y=0\\ y-2z=0\\ x+y+z=405\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{pollos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pueden}}\mathbf{\text{criar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{granjas?}}$

Se resuelve por sustitución: ponemos todo en función de $z$, que es la incógnita más pequeña.

$y=2z\Rightarrow x=\mathrm{1,2}\cdot 2z=\mathrm{2,4}z$

Llevamos las dos expresiones a la tercera ecuación.

$\mathrm{2,4}z+2z+z=405\Rightarrow \mathrm{5,4}z=405\Rightarrow z={\displaystyle \frac{405}{\mathrm{5,4}}}=75$

$y=2\cdot 75=150x=\mathrm{2,4}\cdot 75=180$

Comprobamos que la suma es la correcta: $180+150+75=405$.

La granja A puede criar 180 pollos, la granja B 150 y la granja C 75.