Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 1. Álgebra.
Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}x& y& x\\ y& 0& y\\ 1& z& z\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}a& 2& 3\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 2\end{array}\right)$.

a) Determine los valores x, y, z para los cuales la matriz A no tiene inversa.
b) Calcule $A^{-1}$ para x=3, y=1, z=0.
c) Resuelva el sistema B·A=C para a=1.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{x,}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{z}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}$

Una matriz cuadrada no tiene inversa exactamente cuando su determinante se anula, así que lo calculamos desarrollando por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}x& y& x\\ y& 0& y\\ 1& z& z\end{array}\mid =x(0-yz)-y(yz-y)+x(yz-0)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-xyz-y^{2}z+y^2+xyz=y^2-y^{2}z=y^2(1-z)$

$y^2(1-z)=0\Rightarrow y=0\text{ o }z=1$

La matriz $A$ no tiene inversa cuando $y=0$ o cuando $z=1$, sea cual sea el valor de $x$.



Con esos valores la matriz y su determinante son

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 3\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1^2(1-0)=1\mathrm{\ne }0$

Existe la inversa. La calculamos por el método de los adjuntos.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& -3& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)\Rightarrow (\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& -3& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}(\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& -3& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$



Con $a=1$ efectuamos el producto de la matriz fila $B$ por $A$.

$B\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}x& y& x\\ y& 0& y\\ 1& z& z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}x+2y+3& y+3z& x+2y+3z\end{array}\right)$

Igualando componente a componente con $C$ se obtiene el sistema:

$\{\begin{array}{l}x+2y+3=4\\ y+3z=0\\ x+2y+3z=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x+2y=1\\ y+3z=0\\ x+2y+3z=2\end{array}$

Sustituyendo la primera ecuación en la tercera:

$1+3z=2\Rightarrow z={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$y+3\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}=0\Rightarrow y=-1$

$x+2(-1)=1\Rightarrow x=3$

La solución del sistema es $x=3$, $y=-1$, $z=\frac{1}{3}$.