Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

6. (2 puntos)

Un equipo de baloncesto regional ha vendido tres tipos de entradas para su último partido. Las entradas generales se han vendido a 10 euros, las entradas para estudiantes a 8 euros y las entradas infantiles a 5 euros. El equipo ha conseguido vender 600 entradas y ganar 4900 euros. Además, se sabe que ha vendido el doble de entradas generales que de entradas infantiles. Plantee el sistema de ecuaciones y resuélvalo para calcular el número de entradas vendidas de cada tipo.

$\mathbf{\text{6.}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entradas}}\mathbf{\text{vendidas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ al número de entradas generales, $y$ al de entradas para estudiantes y $z$ al de entradas infantiles, y traducimos las tres condiciones del enunciado.

Se vendieron 600 entradas en total.

$x+y+z=600$

La recaudación, a 10, 8 y 5 euros respectivamente, fue de 4900 euros.

$10x+8y+5z=4900$

Se vendieron el doble de entradas generales que infantiles.

$x=2z$

Sustituimos la tercera ecuación en las dos primeras, con lo que el sistema se reduce a dos incógnitas.

$\{\begin{array}{l}2z+y+z=600\\ 20z+8y+5z=4900\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y+3z=600\\ 8y+25z=4900\end{array}$

Despejamos $y=600-3z$ y lo llevamos a la segunda ecuación.

$8(600-3z)+25z=4900\Rightarrow 4800-24z+25z=4900\Rightarrow z=100$

$x=2\cdot 100=200,y=600-300=300$

Se vendieron 200 entradas generales, 300 para estudiantes y 100 infantiles, que suman 600 entradas y recaudan $2000+2400+500=4900$ euros.