Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

6. (2 puntos)

En una tienda de música se tienen 70 instrumentos distribuidos en tres tipos: guitarras, pianos y violines. Se sabe que la cantidad de pianos más la cantidad de violines es igual a la cantidad de guitarras. Si tuviéramos el mismo número de violines, pero el doble de pianos y cuatro veces el de guitarras, el total de instrumentos en la tienda sería de 180. Plantee un sistema de ecuaciones y determine el número de instrumentos de cada tipo en la tienda.

$\mathbf{\text{6.}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{instrumentos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tienda.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ al número de guitarras, $y$ al de pianos y $z$ al de violines, y traducimos las tres condiciones.

En la tienda hay 70 instrumentos.

$x+y+z=70$

La cantidad de pianos más la de violines iguala a la de guitarras.

$y+z=x\Rightarrow x-y-z=0$

Con los mismos violines, el doble de pianos y cuatro veces las guitarras habría 180 instrumentos.

$4x+2y+z=180$

Sumando las dos primeras ecuaciones desaparecen $y$ y $z$ de golpe.

$2x=70\Rightarrow x=35\Rightarrow y+z=35$

Sustituimos en la tercera ecuación.

$140+2y+z=180\Rightarrow 2y+z=40$

$(2y+z)-(y+z)=40-35\Rightarrow y=5\Rightarrow z=30$

En la tienda hay 35 guitarras, 5 pianos y 30 violines, que suman 70 instrumentos y que en las condiciones del segundo supuesto darían $140+10+30=180$.