Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

B.1. (2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}x+ay+z=a\\ ax-y-az=0\\ x+y+z=1\end{array}$

a) Discuta la compatibilidad del sistema para los diferentes valores de $a$.
b) Resuelva el sistema para $a=2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compatibilidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y discutimos por el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& -1& -a\\ 1& 1& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& a& 1& a\\ a& -1& -a& 0\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2a-2a^2=-2a(a-1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=0\text{o}a=1$

Si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }1$, entonces $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado.

Si $a=1$, la primera y la tercera ecuación coinciden por completo, término independiente incluido.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x-y-z=0\\ x+y+z=1\end{array}\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$

El sistema es compatible indeterminado.

Si $a=0$, la primera y la tercera ecuación tienen los mismos coeficientes y distinto término independiente.

$\{\begin{array}{l}x+z=0\\ -y=0\\ x+y+z=1\end{array}\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{rg}(A^{\ast })$

El sistema es incompatible.

El sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }1$, compatible indeterminado si $a=1$ e incompatible si $a=0$.



Para $a=2$ el sistema es compatible determinado, así que tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 2x-y-2z=0\\ x+y+z=1\end{array}$

Restando la tercera ecuación de la primera se despeja $y$ de golpe.

$y=1$

Sustituimos en la tercera y en la segunda.

$\{\begin{array}{l}x+z=0\\ 2x-2z=1\end{array}\Rightarrow x=-z\Rightarrow -4z=1\Rightarrow z=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

$x={\displaystyle \frac{1}{4}}$

La solución para $a=2$ es $x={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $y=1$, $z=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$.