Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

B.1. (2 puntos)

Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}x+ay+z=2\\ x-az=0\\ x+y+z=2\end{array}$.

a) Discuta la compatibilidad del sistema para los diferentes valores de $a$.
b) Resuelva el sistema para $a=0$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compatibilidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y discutimos por el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 0& -a\\ 1& 1& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& a& 1& 2\\ 1& 0& -a& 0\\ 1& 1& 1& 2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1-a^2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=1\text{o}a=-1$

Si $a\mathrm{\ne }1$ y $a\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado.

Si $a=1$, la primera y la tercera ecuación son idénticas, término independiente incluido.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x-z=0\\ x+y+z=2\end{array}\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$

El sistema es compatible indeterminado.

Si $a=-1$, la primera y la tercera tienen los mismos coeficientes salvo el de $y$, y al restarlas queda una contradicción.

$\{\begin{array}{l}x-y+z=2\\ x+z=0\\ x+y+z=2\end{array}\Rightarrow E_3-E_1:2y=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x+z=2$

Esto contradice la segunda ecuación, $x+z=0$, así que $\mathrm{rg}(A)=2$ y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$ y el sistema es incompatible.

El sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }\pm 1$, compatible indeterminado si $a=1$ e incompatible si $a=-1$.



Para $a=0$ el sistema es compatible determinado, así que tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}x+z=2\\ x=0\\ x+y+z=2\end{array}$

La segunda ecuación da directamente $x=0$, y con ella la primera da $z=2$.

$0+y+2=2\Rightarrow y=0$

La solución para $a=0$ es $x=0$, $y=0$, $z=2$.