Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

A.1. ( 2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$:

$\{\begin{array}{l}x+ay=0\\ x+2z=0\\ x+ay+(a+1)z=a\end{array}$

a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$.
b) Resuelva el sistema para $a=0$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y discutimos el sistema con el teorema de Rouché-Frobenius. Los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes son los que separan los casos.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 1& 0& 2\\ 1& a& a+1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& a& 0& 0\\ 1& 0& 2& 0\\ 1& a& a+1& a\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 1& 0& 2\\ 1& a& a+1\end{array}\mid =-2a-a(a-1)=-a^2-a=-a(a+1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=0\text{o}a=-1$

Si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, con lo que $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, que coincide con el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado.

Si $a=0$ el término independiente se anula y el sistema pasa a ser homogéneo, así que siempre es compatible y basta estudiar el rango de $A$.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 0& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow \mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

Como $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

Si $a=-1$, la primera y la tercera ecuación tienen el mismo primer miembro y distinto término independiente.

$\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x-y=-1\end{array}$

Son incompatibles entre sí, de modo que $\mathrm{rg}(A)=2$ y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$ y el sistema es incompatible.

El sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }-1$, compatible indeterminado si $a=0$ e incompatible si $a=-1$.



Sustituimos $a=0$ y resolvemos el sistema homogéneo resultante.

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x+2z=0\\ x+z=0\end{array}$

De la primera ecuación se obtiene $x=0$ y, sustituyendo en la segunda, $2z=0\Rightarrow z=0$, valores que verifican también la tercera. La incógnita $y$ no interviene en ninguna ecuación, así que queda libre.

$(x,y,z)=(0,\lambda ,0),\lambda \in \mathbb{R}$

Para $a=0$ el sistema tiene infinitas soluciones, todas de la forma $(0,\lambda ,0)$ con $\lambda$ un número real cualquiera.