Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un camión necesita transportar una carga de exactamente 12 metros cúbicos de volumen, y de exactamente 18 toneladas de peso. Puede transportar:

— Arena, que pesa 1,6 toneladas por metro cúbico.

— Grava, que pesa 1,8 toneladas por metro cúbico.

— Ceniza, que pesa 0,5 toneladas por metro cúbico.

a) Si queremos llenar el camión solo con arena y ceniza, calcule qué cantidad de cada material nos permite alcanzar simultáneamente la máxima capacidad de volumen y la máxima capacidad de peso. [5 puntos]

b) Si queremos llenar el camión solo con arena y grava, no podemos alcanzar simultáneamente la máxima capacidad de volumen y la máxima capacidad de peso. Justifique por qué no. [5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{queremos}}\mathbf{\text{llenar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cami}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{arena}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ceniza,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{permite}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{simult}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{neamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{capacidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{capacidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{peso.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ a los metros cúbicos de arena y $z$ a los metros cúbicos de ceniza.

El volumen ha de ser exactamente 12 metros cúbicos y el peso exactamente 18 toneladas, lo que da una ecuación cada uno.

$\{\begin{array}{ll}x+z=12& {\text{(volumen, en m}}^3)\\ \mathrm{1,6}x+\mathrm{0,5}z=18& \text{(peso, en t)}\end{array}$

Resolvemos por sustitución. De la primera ecuación, $z=12-x$.

$\mathrm{1,6}x+\mathrm{0,5}(12-x)=18\Rightarrow \mathrm{1,6}x+6-\mathrm{0,5}x=18$

$\mathrm{1,1}x=12\Rightarrow x={\displaystyle \frac{12}{\mathrm{1,1}}}={\displaystyle \frac{120}{11}}\approx \mathrm{10,91}{\text{m}}^3$

$z=12-{\displaystyle \frac{120}{11}}={\displaystyle \frac{132-120}{11}}={\displaystyle \frac{12}{11}}\approx \mathrm{1,09}{\text{m}}^3$

Pasamos los volúmenes a toneladas multiplicando por la densidad de cada material.

$\text{Arena}:\mathrm{1,6}\cdot {\displaystyle \frac{120}{11}}={\displaystyle \frac{192}{11}}\approx \mathrm{17,45}\text{ t}$

$\text{Ceniza}:\mathrm{0,5}\cdot {\displaystyle \frac{12}{11}}={\displaystyle \frac{6}{11}}\approx \mathrm{0,55}\text{ t}$

Comprobamos las dos condiciones.

${\displaystyle \frac{120}{11}}+{\displaystyle \frac{12}{11}}={\displaystyle \frac{132}{11}}=12{\text{m}}^3$ y ${\displaystyle \frac{192}{11}}+{\displaystyle \frac{6}{11}}={\displaystyle \frac{198}{11}}=18\text{ t}$.

Hay que cargar $120\mathrm{/}11\approx \mathrm{10,91}$ metros cúbicos de arena, que pesan $192\mathrm{/}11\approx \mathrm{17,45}$ toneladas, y $12\mathrm{/}11\approx \mathrm{1,09}$ metros cúbicos de ceniza, que pesan $6\mathrm{/}11\approx \mathrm{0,55}$ toneladas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{queremos}}\mathbf{\text{llenar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cami}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{arena}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{grava,}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{podemos}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{simult}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{neamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{capacidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{capacidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{peso.}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{no.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se plantea el mismo sistema, ahora con $x$ metros cúbicos de arena e $y$ metros cúbicos de grava.

$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ \mathrm{1,6}x+\mathrm{1,8}y=18\end{array}$

Sustituimos $y=12-x$ en la segunda ecuación.

$\mathrm{1,6}x+\mathrm{1,8}(12-x)=18\Rightarrow \mathrm{1,6}x+\mathrm{21,6}-\mathrm{1,8}x=18$

$-\mathrm{0,2}x=18-\mathrm{21,6}=-\mathrm{3,6}\Rightarrow x=18$

$y=12-18=-6$

El sistema tiene solución única, pero es $x=18$ metros cúbicos de arena e $y=-6$ metros cúbicos de grava, y un volumen no puede ser negativo: la solución no sirve.

La razón de fondo se ve sin resolver nada. Los dos materiales pesan más de 1,5 toneladas por metro cúbico, así que 12 metros cúbicos de cualquier mezcla de arena y grava pesan siempre entre estos dos extremos:

$\text{Solo arena}:12\cdot \mathrm{1,6}=\mathrm{19,2}\text{ t}$

$\text{Solo grava}:12\cdot \mathrm{1,8}=\mathrm{21,6}\text{ t}$

$18<\mathrm{19,2}\le \text{peso}\le \mathrm{21,6}$

No se puede: llenando los 12 metros cúbicos solo con arena y grava el peso queda como poco en 19,2 toneladas, por encima de las 18 permitidas. Al ser los dos materiales más densos que la relación que exige el camión ($18\mathrm{/}12=\mathrm{1,5}$ t/m³), es imposible cuadrar las dos capacidades a la vez, y por eso el sistema devuelve una cantidad negativa. La ceniza del apartado a) resolvía el problema justamente porque es mucho más ligera.