Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema siguiente:

$\{\begin{array}{l}x+(a+1)y=1,\\ ax+2y=-2.\end{array}$

a) Discuta el sistema en función del parámetro $a$. [6 puntos]

b) Resuélvalo para $a=-2$. [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada.

$A=\left(\begin{array}{cc}1& a+1\\ a& 2\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& a+1& 1\\ a& 2& -2\end{array}\right)$

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\cdot 2-(a+1)\cdot a=2-a^2-a=-a^2-a+2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a^2+a-2=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}$

$\{\begin{array}{l}a=1\\ a=-2\end{array}\Rightarrow \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-(a-1)(a+2)$

Si $a\mathrm{\ne }1$ y $a\mathrm{\ne }-2$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y el rango de $A$ es 2, igual que el de $A^{\ast }$ y que el número de incógnitas: el sistema es compatible determinado y tiene una única solución.

Si $a=1$, el sistema queda

$\{\begin{array}{l}x+2y=1\\ x+2y=-2\end{array}$

Los primeros miembros son idénticos y los segundos distintos, así que $\text{rg}(A)=1$ y $\text{rg}(A^{\ast })=2$: el sistema es incompatible y no tiene solución.

Si $a=-2$, el sistema queda

$\{\begin{array}{l}x-y=1\\ -2x+2y=-2\end{array}$

La segunda ecuación es la primera multiplicada por $-2$, luego no aporta información. Aquí $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=1$, menor que el número de incógnitas: el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones, con un grado de libertad.

En resumen: para $a\mathrm{\ne }1$ y $a\mathrm{\ne }-2$ hay solución única; para $a=1$ no hay solución; para $a=-2$ hay infinitas soluciones.



Con $a=-2$, y por lo visto en el apartado anterior, todo el sistema se reduce a una sola ecuación.

$x-y=1\Rightarrow x=1+y$

Llamando $y=\lambda$, la solución es

$\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Comprobamos en la segunda ecuación del sistema original.

$-2(1+\lambda )+2\lambda =-2-2\lambda +2\lambda =-2$

Para $a=-2$ el sistema tiene infinitas soluciones, todas de la forma $(1+\lambda ,\lambda )$. Con $\lambda =0$ se obtiene, por ejemplo, $(1,0)$.