Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En la cafetería «Desayuna como un mencey» ofrecen desayunos ecológicos y saludables, compuestos por batidos de frutas, yogur con cereales y tortitas. Tres amigos han ido en tres ocasiones a desayunar. El primer día decidieron probar entre los tres dos batidos, una tortita y un yogur con cereales, pagando un total de 12,25 euros. Otro día aprovecharon que las tortitas tenían un descuento del 20 % y pidieron 3, acompañándolas con dos batidos, pagando un total de 13,90 euros. Ayer descubrieron que si pedían 3 batidos y 3 yogures con cereales pagarían un euro menos que si pedían 2 batidos, 2 yogures y 2 tortitas.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. [1,5 puntos]

b) ¿Qué precio tienen los batidos, yogures y las tortitas en esta cafetería? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantear}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al precio de un batido de frutas, $y$ al de un yogur con cereales y $z$ al de una tortita, todos en euros.

El primer día pidieron dos batidos, una tortita y un yogur por 12,25 euros $\Rightarrow$ $2x+y+z=\mathrm{12,25}$.

Otro día, con las tortitas rebajadas un 20 %, cada tortita costó $\mathrm{0,8}z$; pidieron tres tortitas y dos batidos por 13,90 euros $\Rightarrow$ $2x+3\cdot \mathrm{0,8}z=\mathrm{13,90}\Rightarrow 2x+\mathrm{2,4}z=\mathrm{13,90}$.

Tres batidos y tres yogures cuestan un euro menos que dos batidos, dos yogures y dos tortitas $\Rightarrow$ $3x+3y=2x+2y+2z-1$, que simplificando queda $x+y-2z=-1$.

$\{\begin{array}{l}2x+y+z=\mathrm{12,25}\\ 2x+\mathrm{2,4}z=\mathrm{13,90}\\ x+y-2z=-1\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{batidos,}}\mathbf{\text{yogures}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tortitas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{cafeter}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Restamos la tercera ecuación de la primera para eliminar $y$.

$(2x+y+z)-(x+y-2z)=\mathrm{12,25}-(-1)\Rightarrow x+3z=\mathrm{13,25}$

$x=\mathrm{13,25}-3z$

Sustituimos en la segunda ecuación.

$2(\mathrm{13,25}-3z)+\mathrm{2,4}z=\mathrm{13,90}$

$\mathrm{26,5}-6z+\mathrm{2,4}z=\mathrm{13,90}\Rightarrow -\mathrm{3,6}z=-\mathrm{12,6}\Rightarrow z=\mathrm{3,5}$

$x=\mathrm{13,25}-3\cdot \mathrm{3,5}=\mathrm{13,25}-\mathrm{10,5}=\mathrm{2,75}$

$y=2z-1-x=7-1-\mathrm{2,75}=\mathrm{3,25}$

Comprobamos en la primera ecuación: $2\cdot \mathrm{2,75}+\mathrm{3,25}+\mathrm{3,5}=\mathrm{5,5}+\mathrm{6,75}=\mathrm{12,25}$.

El batido de frutas cuesta $\mathrm{2,75}$ euros, el yogur con cereales $\mathrm{3,25}$ euros y la tortita $\mathrm{3,50}$ euros.