Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un avión ofrece asientos de tres clases: primera, business y turista. El número de asientos business son el doble que los de primera clase, y por cada 15 asientos de clase turista hay dos de clase business. El precio por asiento fue de 350 € para primera clase, 280 € para clase business y 200 € para la clase turista. Si el importe total cobrado por los asientos fue de 31280 €, ¿cuántos asientos de cada clase había en el avión?

$\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{avi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ofrece}}\mathbf{\text{asientos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{clases:}}\mathbf{\text{primera,}}\mathbf{\text{business}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{turista.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{asientos}}\mathbf{\text{business}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{clase,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{asientos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{clase}}\mathbf{\text{turista}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{clase}}\mathbf{\text{business.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{asiento}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{350}}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{clase,}}\mathbf{\text{280}}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{clase}}\mathbf{\text{business}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{200}}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{clase}}\mathbf{\text{turista.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{importe}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{cobrado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{asientos}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{31280}}\mathbf{\text{€,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{asientos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{clase}}\mathbf{\text{hab}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{avi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}$

Llamamos $x$ al número de asientos de primera clase, $y$ al de business y $z$ al de turista.

Los asientos business son el doble que los de primera $\Rightarrow$ $y=2x$.

Por cada 15 asientos de turista hay dos de business $\Rightarrow$ ${\displaystyle \frac{z}{15}}={\displaystyle \frac{y}{2}}\Rightarrow 2z=15y$.

El importe total cobrado fue de 31 280 euros $\Rightarrow$ $350x+280y+200z=31280$.

$\{\begin{array}{l}y-2x=0\\ 2z-15y=0\\ 350x+280y+200z=31280\end{array}$

Escribimos todo en función de $x$ y sustituimos en la tercera ecuación.

$y=2xz={\displaystyle \frac{15y}{2}}={\displaystyle \frac{15\cdot 2x}{2}}=15x$

$350x+280\cdot 2x+200\cdot 15x=31280$

$350x+560x+3000x=31280\Rightarrow 3910x=31280\Rightarrow x=8$

$y=2\cdot 8=16z=15\cdot 8=120$

Comprobamos el importe: $350\cdot 8+280\cdot 16+200\cdot 120=2800+4480+24000=31280$ euros.

En el avión había $8$ asientos de primera clase, $16$ de clase business y $120$ de clase turista, es decir, $144$ asientos en total.