Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una tienda de informática vende pendrives de 32 Gb, 64 Gb y 128 Gb, siendo sus precios 5 €, 15 € y 20 €, respectivamente. Un cliente ha comprado un total de 15 pendrives que le han costado 160 €. Sabiendo que el número de pendrives de 128 Gb que compró era la cuarta parte del resto:

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.

b) Calcular cuántos pendrives de cada clase compró el cliente.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantear}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones.}}$

Llamamos $x$ al número de pendrives de 32 Gb, $y$ al de 64 Gb y $z$ al de 128 Gb.

El cliente compró 15 pendrives en total $\Rightarrow$ $x+y+z=15$.

Le costaron 160 euros $\Rightarrow$ $5x+15y+20z=160$.

Los de 128 Gb son la cuarta parte del resto $\Rightarrow$ $z={\displaystyle \frac{x+y}{4}}$.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=15\\ 5x+15y+20z=160\\ x+y-4z=0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{pendrives}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{clase}}\mathbf{\text{compr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cliente.}}$

De la tercera ecuación, $x+y=4z$; sustituyendo en la primera:

$4z+z=15\Rightarrow 5z=15\Rightarrow z=3$

$x+y=15-3=12$

Llevamos $z=3$ a la segunda ecuación.

$5x+15y+60=160\Rightarrow 5x+15y=100\Rightarrow x+3y=20$

Restamos $x+y=12$:

$(x+3y)-(x+y)=20-12\Rightarrow 2y=8\Rightarrow y=4\Rightarrow x=8$

Comprobamos el importe: $5\cdot 8+15\cdot 4+20\cdot 3=40+60+60=160$ euros.

El cliente compró $8$ pendrives de 32 Gb, $4$ de 64 Gb y $3$ de 128 Gb.