Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Tres nietos desean hacer un regalo de 60 € a su abuela y deciden reunir esta cantidad de la siguiente forma: Luis, el mayor, aporta el triple de lo que aportan los otros dos juntos. Carmen aporta 3 € por cada dos que aporta Pedro.

a) Plantear el sistema de ecuaciones lineales.

b) Resolver el sistema.

c) ¿Cuánto aporta cada nieto?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantear}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales.}}$

Llamamos $x$ a lo que aporta Luis, $y$ a lo que aporta Carmen y $z$ a lo que aporta Pedro, en euros.

Entre los tres reúnen 60 euros $\Rightarrow$ $x+y+z=60$.

Luis aporta el triple de lo que aportan los otros dos juntos $\Rightarrow$ $x=3(y+z)$.

Carmen aporta 3 euros por cada dos que aporta Pedro $\Rightarrow$ ${\displaystyle \frac{y}{3}}={\displaystyle \frac{z}{2}}\Rightarrow 2y=3z$.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=60\\ x-3y-3z=0\\ 2y-3z=0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resolver}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema.}}$

Sustituimos $x=3(y+z)$ en la primera ecuación.

$3(y+z)+(y+z)=60\Rightarrow 4(y+z)=60\Rightarrow y+z=15$

$x=3\cdot 15=45$

De la tercera ecuación, $y={\displaystyle \frac{3z}{2}}$, y sustituyendo:

${\displaystyle \frac{3z}{2}}+z=15\Rightarrow {\displaystyle \frac{5z}{2}}=15\Rightarrow z=6$

$y={\displaystyle \frac{3\cdot 6}{2}}=9$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{aporta}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{nieto?}}$

Comprobamos: $45+9+6=60$, y en efecto $45=3\cdot (9+6)$ y Carmen aporta 3 euros por cada 2 de Pedro.

Luis aporta $45$ euros, Carmen $9$ euros y Pedro $6$ euros.