Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En una tienda de ropa se liquidan los pantalones que han quedado sin vender en la temporada. Los hay de tres tipos: A, sin defecto, todos al mismo precio de 20 euros; B, con defecto no apreciable, con una rebaja del 20 % sobre el precio de los anteriores y C, con defecto apreciable, con una rebaja del 60 % sobre el precio de los que no tienen defecto. Hay 70 pantalones para vender. El precio total de todos ellos es de 1280 euros, y los que tienen defecto suponen el 40 % de los que no lo tienen.

a) Plantear el sistema de ecuaciones.

b) Resolver correctamente.

c) ¿Cuántos pantalones hay de cada clase?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantear}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones.}}$

Llamamos $x$ al número de pantalones del tipo A, $y$ a los del tipo B y $z$ a los del tipo C.

Los precios de los pantalones con defecto se obtienen aplicando la rebaja sobre los 20 euros de los que no lo tienen:

$20\cdot \mathrm{0,80}=16\text{ € (tipo B)}20\cdot \mathrm{0,40}=8\text{ € (tipo C)}$

Hay 70 pantalones para vender $\Rightarrow$ $x+y+z=70$.

El precio total de todos ellos es de 1280 euros $\Rightarrow$ $20x+16y+8z=1280$.

Los que tienen defecto suponen el 40 % de los que no lo tienen $\Rightarrow$ $y+z=\mathrm{0,4}x$.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=70\\ 20x+16y+8z=1280\\ \mathrm{0,4}x-y-z=0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resolver}}\mathbf{\text{correctamente.}}$

Sustituimos $y+z=\mathrm{0,4}x$ en la primera ecuación.

$x+\mathrm{0,4}x=70\Rightarrow \mathrm{1,4}x=70\Rightarrow x=50$

$y+z=\mathrm{0,4}\cdot 50=20$

Llevamos $x=50$ a la segunda ecuación.

$20\cdot 50+16y+8z=1280\Rightarrow 16y+8z=280\Rightarrow 2y+z=35$

Restamos $y+z=20$ de esta última:

$(2y+z)-(y+z)=35-20\Rightarrow y=15\Rightarrow z=20-15=5$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{pantalones}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{clase?}}$

Comprobamos el importe: $20\cdot 50+16\cdot 15+8\cdot 5=1000+240+40=1280$ euros, y los 20 pantalones con defecto son en efecto el 40 % de los 50 que no lo tienen.

Hay $50$ pantalones del tipo A, $15$ del tipo B y $5$ del tipo C.