Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En un hotel hay 400 turistas de españoles, alemanes e ingleses. El número de alemanes es el 120 % del número de ingleses y estos últimos, sumados a los españoles, superan en 40 al número de alemanes.

a) Plantear el correspondiente sistema.

b) ¿Cuántos españoles, alemanes e ingleses hay en el hotel?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantear}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{sistema.}}$

Llamamos $x$ al número de turistas españoles, $y$ al de alemanes y $z$ al de ingleses.

En el hotel hay 400 turistas $\Rightarrow$ $x+y+z=400$.

El número de alemanes es el 120 % del de ingleses $\Rightarrow$ $y=\mathrm{1,2}z$.

Los ingleses sumados a los españoles superan en 40 al número de alemanes $\Rightarrow$ $z+x=y+40$.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=400\\ y-\mathrm{1,2}z=0\\ x-y+z=40\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{espa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{oles,}}\mathbf{\text{alemanes}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{ingleses}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{hotel?}}$

De la tercera ecuación despejamos $x$ y sustituimos $y=\mathrm{1,2}z$.

$x=y+40-z=\mathrm{1,2}z+40-z=\mathrm{0,2}z+40$

Llevamos las dos expresiones a la primera ecuación.

$(\mathrm{0,2}z+40)+\mathrm{1,2}z+z=400$

$\mathrm{2,4}z+40=400\Rightarrow \mathrm{2,4}z=360\Rightarrow z=150$

$y=\mathrm{1,2}\cdot 150=180x=\mathrm{0,2}\cdot 150+40=70$

Comprobamos: $70+180+150=400$ y, en efecto, $150+70=220=180+40$.

En el hotel hay $70$ españoles, $180$ alemanes y $150$ ingleses.