Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Cierto modelo de lavadora tiene un programa de 90 minutos de duración que consta de tres etapas: lavado, aclarado y centrifugado. Se sabe que el tiempo que dura el aclarado es el doble que el del centrifugado. Además, el tiempo dedicado al aclarado y al centrifugado es, entre los dos, la mitad del dedicado al lavado.

Calcule, justificando la respuesta, la duración de cada etapa de dicho programa. [2 puntos]

Llamamos $x$ a los minutos que dura el lavado, $y$ a los del aclarado y $z$ a los del centrifugado.

El programa completo dura 90 minutos:

$x+y+z=90$

El aclarado dura el doble que el centrifugado:

$y=2z$

El aclarado y el centrifugado suman, entre los dos, la mitad de lo que dura el lavado:

$y+z={\displaystyle \frac{x}{2}}$

Reunimos las tres condiciones en un sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=90\\ y=2z\\ y+z={\displaystyle \frac{x}{2}}\end{array}$

Se resuelve por sustitución. Llevando $y=2z$ a la tercera ecuación se obtiene la duración del lavado en función del centrifugado.

$2z+z={\displaystyle \frac{x}{2}}\Rightarrow 3z={\displaystyle \frac{x}{2}}\Rightarrow x=6z$

Sustituyendo ahora $x=6z$ e $y=2z$ en la primera ecuación:

$6z+2z+z=90\Rightarrow 9z=90\Rightarrow z=10$

$y=2\cdot 10=20x=6\cdot 10=60$

Se comprueba que las tres condiciones se cumplen: $60+20+10=90$, $20=2\cdot 10$ y $20+10={\displaystyle \frac{60}{2}}$.

El lavado dura 60 minutos, el aclarado 20 minutos y el centrifugado 10 minutos.