Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Resuelva, justificando la respuesta, el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}3x-2y+4z=3\\ x+y-z=-2\\ 2x-3y+2z=-1\end{array}$

[2 puntos]

Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que se resuelve por sustitución, despejando una variable de la ecuación más sencilla.

$\{\begin{array}{l}3x-2y+4z=3\\ x+y-z=-2\\ 2x-3y+2z=-1\end{array}$

De la segunda ecuación se despeja $z$:

$z=x+y+2$

Se sustituye en la primera ecuación:

$3x-2y+4(x+y+2)=3\Rightarrow 3x-2y+4x+4y+8=3\Rightarrow 7x+2y=-5$

Y en la tercera:

$2x-3y+2(x+y+2)=-1\Rightarrow 2x-3y+2x+2y+4=-1\Rightarrow 4x-y=-5$

Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\{\begin{array}{l}7x+2y=-5\\ 4x-y=-5\end{array}$

De la segunda se despeja $y=4x+5$ y se lleva a la primera:

$7x+2(4x+5)=-5\Rightarrow 15x=-15\Rightarrow x=-1$

$y=4(-1)+5=1z=-1+1+2=2$

Se comprueban las tres ecuaciones: $-3-2+8=3$, $-1+1-2=-2$ y $-2-3+4=-1$.

El sistema es compatible determinado y su única solución es $x=-1$, $y=1$, $z=2$.