Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un comercio ha vendido 600 ejemplares de tres ediciones de un libro por un total de 19152 euros. Los ejemplares de la tercera edición se vendieron por 36 euros cada uno. Los ejemplares de las dos ediciones anteriores se vendieron con un descuento del 30 % los de la primera edición, y del 40 % los de la segunda (ambos respecto al precio de la tercera edición). Se sabe que el número total de ejemplares vendidos de las dos ediciones anteriores fue la mitad de los de la última edición. ¿Cuántos libros vendió de cada edición?

$\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{comercio}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{vendido}}\mathbf{\text{600}}\mathbf{\text{ejemplares}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{ediciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{libro}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{19152}}\mathbf{\text{euros.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{libros}}\mathbf{\text{vendi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{edici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}$

Llamamos $x$ al número de ejemplares vendidos de la primera edición, $y$ a los de la segunda y $z$ a los de la tercera.

Los precios se obtienen aplicando los descuentos sobre los 36 euros de la tercera edición:

$36\cdot \mathrm{0,70}=\mathrm{25,2}\text{€ (primera edici}\acute{\text{o}}\text{n)}36\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{21,6}\text{€ (segunda edici}\acute{\text{o}}\text{n)}$

Se vendieron 600 ejemplares en total $\Rightarrow$ $x+y+z=600$.

Los de las dos ediciones anteriores fueron la mitad de los de la última $\Rightarrow$ $x+y={\displaystyle \frac{z}{2}}$.

El importe total fue de 19 152 euros $\Rightarrow$ $\mathrm{25,2}x+\mathrm{21,6}y+36z=19152$.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=600\\ 2x+2y-z=0\\ \mathrm{25,2}x+\mathrm{21,6}y+36z=19152\end{array}$

Sustituimos $x+y={\displaystyle \frac{z}{2}}$ en la primera ecuación.

${\displaystyle \frac{z}{2}}+z=600\Rightarrow {\displaystyle \frac{3z}{2}}=600\Rightarrow z=400$

$x+y={\displaystyle \frac{400}{2}}=200$

Llevamos $z=400$ a la tercera ecuación.

$\mathrm{25,2}x+\mathrm{21,6}y+36\cdot 400=19152\Rightarrow \mathrm{25,2}x+\mathrm{21,6}y=4752$

Sustituimos $y=200-x$.

$\mathrm{25,2}x+\mathrm{21,6}(200-x)=4752$

$\mathrm{25,2}x+4320-\mathrm{21,6}x=4752\Rightarrow \mathrm{3,6}x=432\Rightarrow x=120$

$y=200-120=80$

Comprobamos el importe: $\mathrm{25,2}\cdot 120+\mathrm{21,6}\cdot 80+36\cdot 400=3024+1728+14400=19152$ euros.

El comercio vendió $120$ ejemplares de la primera edición, $80$ de la segunda y $400$ de la tercera.