Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En un barrio viven un total de 875 personas clasificadas en tres grupos: niños y jóvenes, adultos y jubilados. La cuarta parte de los adultos es igual al doble de la quinta parte de los niños y jóvenes y por cada 9 jubilados hay 26 del resto.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.

b) Explicando los pasos del método usado, resolver el sistema planteado.

c) ¿Cuántas personas hay en cada grupo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantear}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones.}}$

Llamamos $x$ al número de niños y jóvenes, $y$ al de adultos y $z$ al de jubilados.

En el barrio viven 875 personas $\Rightarrow$ $x+y+z=875$.

La cuarta parte de los adultos es igual al doble de la quinta parte de los niños y jóvenes $\Rightarrow$ ${\displaystyle \frac{y}{4}}=2\cdot {\displaystyle \frac{x}{5}}\Rightarrow 5y=8x$.

Por cada 9 jubilados hay 26 del resto $\Rightarrow$ ${\displaystyle \frac{z}{9}}={\displaystyle \frac{x+y}{26}}\Rightarrow 26z=9(x+y)$.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=875\\ 8x-5y=0\\ 9x+9y-26z=0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Explicando}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{pasos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{usado,}}\mathbf{\text{resolver}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{planteado.}}$

Resolvemos por sustitución, escribiendo todo en función de $x$.

De la segunda ecuación:

$y={\displaystyle \frac{8x}{5}}$

Sustituyendo en la tercera:

$26z=9(x+{\displaystyle \frac{8x}{5}})=9\cdot {\displaystyle \frac{13x}{5}}={\displaystyle \frac{117x}{5}}$

$z={\displaystyle \frac{117x}{130}}={\displaystyle \frac{9x}{10}}$

Llevamos las dos expresiones a la primera ecuación:

$x+{\displaystyle \frac{8x}{5}}+{\displaystyle \frac{9x}{10}}=875$

${\displaystyle \frac{10x+16x+9x}{10}}=875\Rightarrow {\displaystyle \frac{35x}{10}}=875\Rightarrow 35x=8750\Rightarrow x=250$

$y={\displaystyle \frac{8\cdot 250}{5}}=400z={\displaystyle \frac{9\cdot 250}{10}}=225$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{grupo?}}$

Comprobamos las tres condiciones: $250+400+225=875$; la cuarta parte de los adultos es ${\displaystyle \frac{400}{4}}=100$ y el doble de la quinta parte de los niños y jóvenes es $2\cdot {\displaystyle \frac{250}{5}}=100$; y como $x+y=650$, por cada 26 del resto hay ${\displaystyle \frac{9\cdot 650}{26}}=225$ jubilados.

En el barrio hay $250$ niños y jóvenes, $400$ adultos y $225$ jubilados.