Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una jugadora de ajedrez ha conseguido premios en 51 de los torneos en los que ha participado a lo largo de su vida. Los torneos han sido locales, nacionales e internacionales. El número de torneos locales en los que ha jugado ha sido el doble de los nacionales; además, por cada cinco torneos nacionales ha participado en dos internacionales. Los torneos en los que ha conseguido premio representan un 30 % de todos los torneos en los que ha participado.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. [1,5 puntos]

b) ¿En cuántos torneos de cada clase ha participado esta jugadora? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantear}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de torneos locales, $y$ al de nacionales y $z$ al de internacionales en los que ha participado la jugadora.

El número de torneos locales es el doble de los nacionales $\Rightarrow$ $x=2y$.

Por cada cinco torneos nacionales ha participado en dos internacionales $\Rightarrow$ ${\displaystyle \frac{y}{5}}={\displaystyle \frac{z}{2}}\Rightarrow 2y=5z$.

Los 51 torneos con premio son el 30 % del total $\Rightarrow$ $\mathrm{0,3}(x+y+z)=51$.

$\{\begin{array}{l}x-2y=0\\ 2y-5z=0\\ \mathrm{0,3}(x+y+z)=51\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{torneos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{clase}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{participado}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{jugadora?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

De la tercera ecuación se obtiene directamente el número total de torneos.

$x+y+z={\displaystyle \frac{51}{\mathrm{0,3}}}=170$

Escribimos $x$ y $z$ en función de $y$ y sustituimos.

$x=2yz={\displaystyle \frac{2y}{5}}$

$2y+y+{\displaystyle \frac{2y}{5}}=170\Rightarrow {\displaystyle \frac{10y+5y+2y}{5}}=170\Rightarrow 17y=850\Rightarrow y=50$

$x=2\cdot 50=100z={\displaystyle \frac{2\cdot 50}{5}}=20$

Comprobamos: $100+50+20=170$ y el 30 % de 170 es $51$ torneos con premio.

La jugadora ha participado en $100$ torneos locales, $50$ nacionales y $20$ internacionales.