Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un trayecto de 600 km se ha de hacer combinando taxi, ferrocarril y autobús. El coste del taxi es de 0,5 euros/km; el del ferrocarril, de 0,2 euros/km, y el del autobús, de 0,1 euros/km. El recorrido nos ha costado 150 euros, y se sabe que se han hecho el doble de kilómetros con ferrocarril que con taxi y autobús juntos. Determine las distancias que se han recorrido con cada medio de transporte. [10 puntos]

$\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{trayecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{600}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{combinando}}\mathbf{\text{taxi,}}\mathbf{\text{ferrocarril}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{autob}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{s.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{taxi}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,5}}\mathbf{\text{euros/km;}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{ferrocarril,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,2}}\mathbf{\text{euros/km,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{autob}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,1}}\mathbf{\text{euros/km.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{recorrido}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{costado}}\mathbf{\text{150}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{hecho}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{kil}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{ferrocarril}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{taxi}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{autob}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{juntos.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{distancias}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{recorrido}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{transporte.}}\mathbf{\text{[10}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ a los kilómetros recorridos en taxi, $y$ a los recorridos en ferrocarril y $z$ a los recorridos en autobús.

Cada dato del enunciado da una ecuación. El trayecto total es de 600 km.

$x+y+z=600$

El coste total es de 150 euros, a 0,5, 0,2 y 0,1 euros por kilómetro respectivamente.

$\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,2}y+\mathrm{0,1}z=150$

Se han hecho el doble de kilómetros en ferrocarril que en taxi y autobús juntos.

$y=2(x+z)$

$\{\begin{array}{l}x+y+z=600\\ \mathrm{0,5}x+\mathrm{0,2}y+\mathrm{0,1}z=150\\ y=2(x+z)\end{array}$

La tercera ecuación, combinada con la primera, da directamente $y$: si $x+z$ es la mitad de $y$, el total de 600 km se reparte en tres partes iguales, dos de ellas de ferrocarril.

$x+z={\displaystyle \frac{y}{2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{y}{2}}+y=600\Rightarrow {\displaystyle \frac{3y}{2}}=600$

$y=400\Rightarrow x+z=200$

Sustituimos en la ecuación del coste.

$\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,2}\cdot 400+\mathrm{0,1}z=150\Rightarrow \mathrm{0,5}x+80+\mathrm{0,1}z=150$

$\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,1}z=70$

Con $z=200-x$:

$\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,1}(200-x)=70\Rightarrow \mathrm{0,5}x+20-\mathrm{0,1}x=70$

$\mathrm{0,4}x=50\Rightarrow x={\displaystyle \frac{50}{\mathrm{0,4}}}=125$

$z=200-125=75$

Comprobamos las tres condiciones.

$125+400+75=600$ km.

$\mathrm{0,5}\cdot 125+\mathrm{0,2}\cdot 400+\mathrm{0,1}\cdot 75=\mathrm{62,5}+80+\mathrm{7,5}=150$ euros.

$2(125+75)=400=y$.

Se han recorrido 125 km en taxi, 400 km en ferrocarril y 75 km en autobús.