Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Bernat quedó ayer con unos amigos en un bar y tomaron 4 cervezas, 3 bocadillos y 5 cafés con leche. En total les costó 19,50 euros. Días antes, había ido al mismo bar con su primo Martí, y por 2 cervezas, 1 bocadillo y 2 cafés con leche habían pagado 8,10 euros. En este bar todas las cervezas valen lo mismo y todos los bocadillos tienen el mismo precio.

a) Identifique las variables e interprete el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales. [2 puntos]

b) Hoy Bernat ha vuelto con otros amigos y han tomado 2 cervezas, 2 bocadillos y 3 cafés con leche. Combine las ecuaciones del apartado a) para deducir cuánto han pagado en total. [3 puntos]

c) Si 1 cerveza, 1 bocadillo y 1 café con leche cuestan 5,10 euros, ¿cuánto valen la cerveza, el bocadillo y el café con leche por separado? [5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Identifique}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{variables}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{interprete}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{enunciado}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $c$ al precio de una cerveza, $b$ al de un bocadillo y $f$ al de un café con leche, todos en euros.

La primera visita fue de 4 cervezas, 3 bocadillos y 5 cafés con leche por 19,50 €.

$4c+3b+5f=\mathrm{19,50}$

La segunda, de 2 cervezas, 1 bocadillo y 2 cafés con leche por 8,10 €.

$2c+b+2f=\mathrm{8,10}$

$\{\begin{array}{l}4c+3b+5f=\mathrm{19,50}\\ 2c+b+2f=\mathrm{8,10}\end{array}$

Hay dos ecuaciones y tres incógnitas, de modo que por ahora el sistema no puede tener solución única: harán falta más datos, que es lo que aporta el apartado c).

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Hoy}}\mathbf{\text{Bernat}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{vuelto}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{otros}}\mathbf{\text{amigos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{tomado}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{cervezas,}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{bocadillos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{leche.}}\mathbf{\text{Combine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{deducir}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{pagado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{total.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Lo que se pide es el valor de $2c+2b+3f$, y no hace falta conocer los precios por separado: basta observar que esa combinación es la diferencia de las dos ecuaciones.

$(4c+3b+5f)-(2c+b+2f)=2c+2b+3f$

Restamos entonces los dos importes.

$2c+2b+3f=\mathrm{19,50}-\mathrm{8,10}=\mathrm{11,40}$

Hoy han pagado 11,40 € en total.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{cerveza,}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{bocadillo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{leche}}\mathbf{\text{cuestan}}\mathbf{\text{5,10}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{valen}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cerveza,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{bocadillo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{leche}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{separado?}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El dato nuevo añade la tercera ecuación que faltaba, y conviene usar la del apartado b), que es más cómoda.

$\{\begin{array}{l}c+b+f=\mathrm{5,10}\\ 2c+b+2f=\mathrm{8,10}\\ 2c+2b+3f=\mathrm{11,40}\end{array}$

Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la restamos de la tercera: se van $c$ y $b$ a la vez.

$2(c+b+f)=\mathrm{10,20}\Rightarrow (2c+2b+3f)-(2c+2b+2f)=\mathrm{11,40}-\mathrm{10,20}$

$f=\mathrm{1,20}$

Sustituimos en la segunda ecuación.

$2c+b+2\cdot \mathrm{1,20}=\mathrm{8,10}\Rightarrow 2c+b=\mathrm{8,10}-\mathrm{2,40}=\mathrm{5,70}$

Y en la primera.

$c+b+\mathrm{1,20}=\mathrm{5,10}\Rightarrow c+b=\mathrm{3,90}\Rightarrow b=\mathrm{3,90}-c$

Llevamos esa expresión a la anterior.

$2c+(\mathrm{3,90}-c)=\mathrm{5,70}\Rightarrow c=\mathrm{5,70}-\mathrm{3,90}=\mathrm{1,80}$

$b=\mathrm{3,90}-\mathrm{1,80}=\mathrm{2,10}$

Comprobamos las dos cuentas del enunciado.

$4\cdot \mathrm{1,80}+3\cdot \mathrm{2,10}+5\cdot \mathrm{1,20}=\mathrm{7,20}+\mathrm{6,30}+\mathrm{6,00}=\mathrm{19,50}$

$2\cdot \mathrm{1,80}+\mathrm{2,10}+2\cdot \mathrm{1,20}=\mathrm{3,60}+\mathrm{2,10}+\mathrm{2,40}=\mathrm{8,10}$

La cerveza vale 1,80 €, el bocadillo 2,10 € y el café con leche 1,20 €.