Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Los huéspedes de un hotel pueden elegir entre: Solo Alojamiento (SA), Alojamiento y Desayuno (AD), y Todo Incluido (TI). Se sabe que el número de clientes en Todo Incluido es el doble que en Solo Alojamiento y que, por cada tres clientes en Solo Alojamiento, hay dos en Alojamiento y Desayuno. Además, si se marcharan 39 clientes de Todo Incluido, la suma de los que están en los otros dos regímenes sería igual a los que quedan en Todo Incluido.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. [1,5 puntos]

b) ¿Cuántos clientes hay en cada régimen de alojamiento? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantear}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de clientes en Solo Alojamiento, $y$ al de Alojamiento y Desayuno y $z$ al de Todo Incluido.

El número de clientes en Todo Incluido es el doble que en Solo Alojamiento $\Rightarrow$ $z=2x$.

Por cada tres clientes en Solo Alojamiento hay dos en Alojamiento y Desayuno $\Rightarrow$ ${\displaystyle \frac{x}{3}}={\displaystyle \frac{y}{2}}\Rightarrow 2x=3y$.

Si se marcharan 39 clientes de Todo Incluido, la suma de los otros dos regímenes sería igual a los que quedan $\Rightarrow$ $x+y=z-39$.

Reunimos las tres condiciones en un sistema:

$\{\begin{array}{l}2x-z=0\\ 2x-3y=0\\ x+y-z=-39\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{r}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{gimen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{alojamiento?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Resolvemos por sustitución, escribiendo $y$ y $z$ en función de $x$.

$z=2xy={\displaystyle \frac{2x}{3}}$

Sustituimos en la tercera ecuación.

$x+{\displaystyle \frac{2x}{3}}=2x-39$

${\displaystyle \frac{5x}{3}}=2x-39\Rightarrow 5x=6x-117\Rightarrow x=117$

$y={\displaystyle \frac{2\cdot 117}{3}}=78z=2\cdot 117=234$

Comprobamos la tercera condición: $117+78=195$ y $234-39=195$.

Hay $117$ clientes en Solo Alojamiento, $78$ en Alojamiento y Desayuno y $234$ en Todo Incluido, es decir, $429$ huéspedes en total.