Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=5,\\ 5x+ay-z=11,\\ 3x-y+az=2.\end{array}$

a) Discuta para qué valores de $a$ el sistema tiene solución y cuántas tiene en cada caso. [6 puntos]

b) Encuentre la solución del sistema para $a=2$. [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caso.}}\mathbf{\text{[6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 5& a& -1\\ 3& -1& a\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 5\\ 5& a& -1& 11\\ 3& -1& a& 2\end{array}\right)$

Calculamos el determinante de $A$ desarrollando por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\cdot \mid \begin{array}{cc}a& -1\\ -1& a\end{array}\mid -1\cdot \mid \begin{array}{cc}5& -1\\ 3& a\end{array}\mid +1\cdot \mid \begin{array}{cc}5& a\\ 3& -1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(a^2-1)-(5a+3)+(-5-3a)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a^2-1-5a-3-5-3a=a^2-8a-9$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a^2-8a-9=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64+36}}{2}}={\displaystyle \frac{8\pm 10}{2}}$

$\{\begin{array}{l}a=9\\ a=-1\end{array}\Rightarrow \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(a-9)(a+1)$

Si $a\mathrm{\ne }9$ y $a\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y el rango de $A$ es 3, igual que el de $A^{\ast }$ y que el número de incógnitas: el sistema es compatible determinado y tiene una única solución.

Si $a=-1$, el sistema queda

$\{\begin{array}{l}x+y+z=5\\ 5x-y-z=11\\ 3x-y-z=2\end{array}$

El rango de $A$ es 2, porque el determinante se anula pero hay menores de orden 2 distintos de cero, por ejemplo el formado por las dos primeras filas y columnas:

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 5& -1\end{array}\mid =-1-5=-6\mathrm{\ne }0$

En la matriz ampliada, en cambio, se encuentra un menor de orden 3 distinto de cero. Basta cambiar la tercera columna de $A$ por la de los términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 5\\ 5& -1& 11\\ 3& -1& 2\end{array}\mid =1(-2+11)-1(10-33)+5(-5+3)=9+23-10=22\mathrm{\ne }0$

Luego $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(A^{\ast })=3$: el sistema es incompatible y no tiene solución.

Si $a=9$, ocurre lo mismo. El rango de $A$ es 2, pues $\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 5& 9\end{array}\mid =4\mathrm{\ne }0$, y en la ampliada aparece un menor de orden 3 no nulo:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 5\\ 5& 9& 11\\ 3& -1& 2\end{array}\mid =1(18+11)-1(10-33)+5(-5-27)=29+23-160=-108\mathrm{\ne }0$

Luego el sistema también es incompatible.

En resumen: para $a\mathrm{\ne }9$ y $a\mathrm{\ne }-1$ el sistema tiene solución única; para $a=9$ y para $a=-1$ no tiene ninguna solución.



Con $a=2$ estamos en el caso de solución única. El sistema es

$\{\begin{array}{l}x+y+z=5\\ 5x+2y-z=11\\ 3x-y+2z=2\end{array}$

Sumamos la primera y la segunda ecuación para eliminar $z$.

$(x+y+z)+(5x+2y-z)=5+11\Rightarrow 6x+3y=16$

Multiplicamos la primera por 2 y le restamos la tercera, con lo que también se va $z$.

$2(x+y+z)-(3x-y+2z)=10-2\Rightarrow 2x+2y+2z-3x+y-2z=8$

$-x+3y=8$

Restamos esta última de la anterior para eliminar $y$.

$(6x+3y)-(-x+3y)=16-8\Rightarrow 7x=8\Rightarrow x={\displaystyle \frac{8}{7}}$

$-{\displaystyle \frac{8}{7}}+3y=8\Rightarrow 3y=8+{\displaystyle \frac{8}{7}}={\displaystyle \frac{64}{7}}\Rightarrow y={\displaystyle \frac{64}{21}}$

$z=5-x-y=5-{\displaystyle \frac{8}{7}}-{\displaystyle \frac{64}{21}}={\displaystyle \frac{105-24-64}{21}}={\displaystyle \frac{17}{21}}$

Comprobamos en la segunda ecuación, que no se ha usado en el último paso.

$5\cdot {\displaystyle \frac{8}{7}}+2\cdot {\displaystyle \frac{64}{21}}-{\displaystyle \frac{17}{21}}={\displaystyle \frac{120}{21}}+{\displaystyle \frac{128}{21}}-{\displaystyle \frac{17}{21}}={\displaystyle \frac{231}{21}}=11$

La solución para $a=2$ es $x={\displaystyle \frac{8}{7}}$, $y={\displaystyle \frac{64}{21}}$, $z={\displaystyle \frac{17}{21}}$.