Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 2
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 2.1 o APARTADO 2.2
APARTADO 2.1 [2,5 puntos]
Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C.
El fabricante A envasa el tomate en latas de 250 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de 1 kg. Dichas latas de tomate se venden a 1, 1,8 y 3,3 €, respectivamente.
Compramos 20 latas que tienen un peso total de 10 kg y un valor total de 35,6 €. Queremos saber cuántas latas hemos comprado de cada fabricante.

a) [1 punto] Plantea el sistema de ecuaciones que resuelve el problema.
b) [1,5 puntos] Resuelve el problema.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{resuelve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema.}}$

Se llama a cada incógnita por el número de latas compradas a cada fabricante, y se ordenan los datos en una tabla antes de escribir las ecuaciones.

$x=\text{latas del fabricante }A,y=\text{latas del fabricante }B,z=\text{latas del fabricante }C$

$$	$A$	$B$	$C$	$\text{Total}$ Peso por lata (g)	250	500	1000	$$ Precio por lata (€)	1	1,8	3,3	$$ Latas compradas	$x$	$y$	$z$	20

Las tres condiciones del enunciado son el número total de latas, el peso total —expresado en gramos, porque los $10\text{ kg}$ son $10000\text{ g}$— y el valor total.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=20\\ 250x+500y+1000z=10000\\ x+\mathrm{1,8}y+\mathrm{3,3}z=\mathrm{35,6}\end{array}$

La segunda ecuación se simplifica dividiendo entre $250$:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=20\\ x+2y+4z=40\\ x+\mathrm{1,8}y+\mathrm{3,3}z=\mathrm{35,6}\end{array}$

El sistema que resuelve el problema es el anterior, con $x$, $y$ y $z$ el número de latas de cada fabricante.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema.}}$

Se resuelve por reducción, restando la primera ecuación a las otras dos para eliminar la incógnita $x$.

$(x+2y+4z)-(x+y+z)=40-20\Rightarrow y+3z=20$

$(x+\mathrm{1,8}y+\mathrm{3,3}z)-(x+y+z)=\mathrm{35,6}-20\Rightarrow \mathrm{0,8}y+\mathrm{2,3}z=\mathrm{15,6}$

Se despeja $y$ de la primera de estas dos y se sustituye en la segunda.

$y=20-3z$

$\mathrm{0,8}(20-3z)+\mathrm{2,3}z=\mathrm{15,6}\Rightarrow 16-\mathrm{2,4}z+\mathrm{2,3}z=\mathrm{15,6}$

$-\mathrm{0,1}z=-\mathrm{0,4}\Rightarrow z=4$

Se deshace la sustitución:

$y=20-3\cdot 4=8$

$x=20-y-z=20-8-4=8$

Se comprueba la solución en las tres condiciones de partida:

$\{\begin{array}{l}8+8+4=20\text{ latas}\\ 250\cdot 8+500\cdot 8+1000\cdot 4=10000\text{ g}=10\text{ kg}\\ 8\cdot 1+8\cdot \mathrm{1,8}+4\cdot \mathrm{3,3}=8+\mathrm{14,4}+\mathrm{13,2}=\mathrm{35,6}\text{ euros}\end{array}$

Se han comprado $8$ latas del fabricante $A$, $8$ latas del fabricante $B$ y $4$ latas del fabricante $C$.