Examen de Matemáticas CCSS de País Vasco 2025 (convocatoria ordinaria)

PROBLEMA 1 [2,5 puntos]
La elaboración de tapices es un arte que se transmite de generación en generación, por lo que la mayoría de los maestros tejedores tienen experiencia en tapicería tradicional y están capacitados para aprender las técnicas y procesos.
Con el fin de planificar la producción de estas pequeñas obras de arte, un fabricante egipcio organiza las necesidades de materia prima por meses y las unidades producidas por metro lineal. En un determinado mes dispone de 50 kg de hilo de seda, 40 kg de hilo de plata y 22,5 kg de hilo de oro.
Para crear algunos tapices se suelen necesitar días y emplear materiales más económicos (tipo A); otros, en cambio, se suelen tardar semanas y requerir de materiales de mayor calidad y coste para su creación (tipo B); pero todos ellos necesitan la paciencia y la atención de los expertos en los detalles para convertirse en una pieza de artesanía.
Para fabricar un metro lineal de tapiz del tipo A se necesitan 100 g de hilo de seda y 200 g de hilo de plata; y para cada metro lineal del tipo B, 200 g de hilo de seda, 100 g de hilo de plata y 100 g de hilo de oro.
El metro lineal de tapiz del tipo A se vende a 2.000 €, y en el caso del tipo B a 3.000 €.
Si se vende todo lo que se fabrica:

a) [1,6 puntos] ¿Cuántos metros lineales de cada tipo de tapiz deben elaborarse ese mes para maximizar los ingresos?
b) [0,3 puntos] ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo?
c) [0,6 puntos] ¿Qué cantidades de hilo de seda, plata y oro quedarán cuando se fabriquen los metros lineales de cada tipo de tapiz que generan el ingreso máximo?

PROBLEMA 2
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 2.1 o APARTADO 2.2
APARTADO 2.1 [2,5 puntos]
Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C.
El fabricante A envasa el tomate en latas de 250 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de 1 kg. Dichas latas de tomate se venden a 1, 1,8 y 3,3 €, respectivamente.
Compramos 20 latas que tienen un peso total de 10 kg y un valor total de 35,6 €. Queremos saber cuántas latas hemos comprado de cada fabricante.

a) [1 punto] Plantea el sistema de ecuaciones que resuelve el problema.
b) [1,5 puntos] Resuelve el problema.

PROBLEMA 2
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 2.1 o APARTADO 2.2
APARTADO 2.2 [2,5 puntos]
Dada la matriz $A(a)$:

$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& a& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

a) [0,6 puntos] Calcula, razonadamente, el valor de $a$ para que el determinante de $A^2(a)$ valga 4.
b) [1 punto] Comprueba si la matriz $A(a)$ es regular (invertible) para los valores de $a$ obtenidos en el apartado anterior. Si es regular para el caso $a=2$, calcula $A^{-1}(a)$.
c) [0,9 puntos] Determina la siguiente matriz $M$ y el valor de su determinante:

$M=A^t(2)\cdot A^{-1}(2)$

PROBLEMA 3
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 3.1 o APARTADO 3.2
APARTADO 3.1 [2,5 puntos]
Las funciones $E(x)$ y $D(x)$ representan, respectivamente, el rendimiento de dos pintores, Eneko y Deiene, un determinado día que trabajan durante 8 horas.
Ambas funciones miden los metros cuadrados pintados por hora y se pueden determinar mediante las expresiones:

$E(x)=-x^2+19x+66,0\le x\le 8$

$D(x)=-x^2+5x+150,0\le x\le 8$

a) [0,3 puntos] ¿Qué pintor tiene mejor rendimiento inicial?
b) [0,6 puntos] ¿Cuál es el mayor rendimiento de Eneko? ¿Cuándo se da?
c) [0,5 puntos] ¿Cuál es el mayor rendimiento de Deiene? ¿Cuándo se da?
d) [0,3 puntos] ¿Cuándo tienen ambos el mismo rendimiento?
e) [0,8 puntos] Al final de la jornada laboral de ese día, ¿cuántos $m^2$ ha pintado Deiene en total?

PROBLEMA 3
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 3.1 o APARTADO 3.2
APARTADO 3.2 [2,5 puntos]
Sea la función $f(x):(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ definida como:

$f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+b}{x}}$

Sabemos que la recta $y=-2$ es la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x=1$.

a) [1,25 puntos] Calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$.
b) [0,75 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, cuando $a=b=-1$.
c) [0,5 puntos] Para los valores $a=b=-1$, ¿tiene la función, $f(x)$, algún máximo o mínimo relativo? En caso afirmativo, determínalo.

PROBLEMA 4
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 4.1 o APARTADO 4.2
APARTADO 4.1 [2,5 puntos]
Una bolsa contiene tres cartas del mismo tamaño con caras de diferentes colores.
Una carta es roja por las dos caras, otra tiene una cara blanca y otra roja, y la tercera tiene una cara negra y otra blanca.
Se saca una carta al azar y se muestra, también al azar, una de sus caras.

a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea roja?
b) [1,5 puntos] Si la cara mostrada es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea roja?

PROBLEMA 4
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 4.1 o APARTADO 4.2
APARTADO 4.2 [2,5 puntos]
Iker dispone de dos días para preparar un examen. La probabilidad de estudiar solamente el primer día es del 10 %, la de estudiar los dos días es del 10 % y la de no hacerlo ningún día es del 25 %.
Calcular la probabilidad de que Iker estudie para el examen en cada uno de los siguientes casos:

a) [0,75 puntos] El segundo día.
b) [1 punto] Solamente el segundo día.
c) [0,75 puntos] El segundo día sabiendo que no ha estudiado el primero.

PROBLEMA 5
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 5.1 o APARTADO 5.2
APARTADO 5.1 [2,5 puntos]
En un determinado año, la nota de la Prueba para el Acceso a la Universidad, PAU, del alumnado que se ha preinscrito en el Grado en Arquitectura Técnica sigue una distribución normal de media 6,8 puntos y desviación típica 0,6 puntos.
Por otro lado, la nota del alumnado que se ha preinscrito en el Grado en Biomedical Engineering sigue una distribución normal de media 7 puntos y desviación típica 0,5 puntos.
En ambos casos solo se puede admitir al 25 % del alumnado preinscrito que tiene las mejores calificaciones. Si Yolanda ha obtenido una nota de 7,25 puntos y Teresa de 7,45 puntos, ¿a qué grados tendrán opción de acceso?

PROBLEMA 5
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 5.1 o APARTADO 5.2
APARTADO 5.2 [2,5 puntos]
La estatura (en centímetros) del personal del servicio foral de extinción de incendios y salvamento es una variable aleatoria, $X$, que sigue una distribución normal de media $\mu$ y varianza 169 $c{m}^2$.
A partir de una muestra aleatoria simple de tamaño 81 se estima que la media es 175 $cm$.

a) [0,4 puntos] Indica cuál es la distribución de la media muestral, $\bar{X}$.
b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura media esté entre 172 y 182 $cm$?
c) [0,75 puntos] En la distribución de la media muestral, $\bar{X}$, obtén el intervalo característico para el 99 %.
d) [0,6 puntos] Si se quiere estimar la estatura media del personal de dicho servicio de forma que el error máximo admisible no sobrepase los 2 $cm$, con un nivel de confianza del 94 %, ¿cuántas personas se tendrán que escoger para formar parte de la muestra?