Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 4
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 4.1 o APARTADO 4.2
APARTADO 4.1 [2,5 puntos]
Una bolsa contiene tres cartas del mismo tamaño con caras de diferentes colores.
Una carta es roja por las dos caras, otra tiene una cara blanca y otra roja, y la tercera tiene una cara negra y otra blanca.
Se saca una carta al azar y se muestra, también al azar, una de sus caras.

a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea roja?
b) [1,5 puntos] Si la cara mostrada es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea roja?

El experimento tiene dos etapas: primero se elige la carta y después se elige, dentro de ella, la cara que se muestra. Se nombran las tres cartas por sus dos caras.

$C_1=\text{roja-roja},C_2=\text{blanca-roja},C_3=\text{negra-blanca}$

Como la carta se saca al azar entre tres, y la cara se muestra también al azar entre las dos de esa carta:

$P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Se construye el diagrama de árbol con las dos etapas.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{mostrada}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{roja?}}$

Se aplica el teorema de la probabilidad total sobre las tres cartas, sumando las ramas del árbol que terminan en una cara roja.

$P(R)=P(C_1)\cdot P(R\mid C_1)+P(C_2)\cdot P(R\mid C_2)+P(C_3)\cdot P(R\mid C_3)$

La carta $C_1$ es roja por las dos caras, la $C_2$ solo por una y la $C_3$ por ninguna.

$P(R)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 0={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

La probabilidad de que la cara mostrada sea roja es $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$, es decir, un $50\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{mostrada}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{blanca,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{roja?}}$

Ahora se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, así que se aplica el teorema de Bayes. La única carta con una cara blanca y la otra roja es la $C_2$, de modo que lo pedido es $P(C_2\mid B)$.

Primero se calcula la probabilidad de mostrar una cara blanca, de nuevo por probabilidad total:

$P(B)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 0+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$P(C_2\mid B)={\displaystyle \frac{P(C_2)\cdot P(B\mid C_2)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Sabiendo que la cara mostrada es blanca, la probabilidad de que la otra cara sea roja es $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$, es decir, un $50\mathrm{\%}$.