Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En un molino de gofio se elaboran gofios de trigo, de millo y de cinco cereales. El gofio de trigo supone un 40 % de la producción, el gofio de millo un 32 %, y el resto es de gofio de cinco cereales. A veces, algún paquete presenta un defecto que hace imposible su comercialización. Con el gofio de trigo ocurre en un 1,2 % de los paquetes, con el de millo en un 0,9 % y con el de cinco cereales en un 2,3 %.

a) Elabora el árbol de probabilidades. [0,5 puntos]

b) Si se elige al azar un paquete de gofio, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos? [1 punto]

c) Si presenta algún defecto, ¿cuál es la probabilidad de que el paquete sea de gofio de millo? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Elabora}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidades.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Nombramos los sucesos:

$T\equiv$ el paquete es de gofio de trigo,
$M\equiv$ el paquete es de gofio de millo,
$C\equiv$ el paquete es de gofio de cinco cereales,
$D\equiv$ el paquete presenta un defecto,
$\bar{D}\equiv$ el paquete no presenta defectos.

Los tres tipos de gofio forman un sistema completo de sucesos. Como el trigo supone el 40 % y el millo el 32 %, al gofio de cinco cereales le corresponde el resto:

$P(C)=1-\mathrm{0,40}-\mathrm{0,32}=\mathrm{0,28}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{paquete}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{gofio,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{defectos?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Calculamos primero la probabilidad de que el paquete sea defectuoso mediante el teorema de la probabilidad total.

$P(D)=P(T)\cdot P(D\mathrm{/}T)+P(M)\cdot P(D\mathrm{/}M)+P(C)\cdot P(D\mathrm{/}C)$

$P(D)=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,012}+\mathrm{0,32}\cdot \mathrm{0,009}+\mathrm{0,28}\cdot \mathrm{0,023}$

$P(D)=\mathrm{0,0048}+\mathrm{0,00288}+\mathrm{0,00644}=\mathrm{0,01412}$

El suceso pedido es el contrario.

$P(\bar{D})=1-\mathrm{0,01412}=\mathrm{0,98588}$

La probabilidad de que el paquete elegido no tenga defectos es $\mathrm{0,98588}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{presenta}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{defecto,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{paquete}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{gofio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{millo?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes.

$P(M\mathrm{/}D)={\displaystyle \frac{P(M)\cdot P(D\mathrm{/}M)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,32}\cdot \mathrm{0,009}}{\mathrm{0,01412}}}$

$P(M\mathrm{/}D)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,00288}}{\mathrm{0,01412}}}={\displaystyle \frac{72}{353}}\approx \mathrm{0,2040}$

Sabiendo que el paquete es defectuoso, la probabilidad de que sea de gofio de millo es ${\displaystyle \frac{72}{353}}\approx \mathrm{0,2040}$.