Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Se dispone de tres urnas idénticas con bolas de colores dentro. La primera urna tiene 6 blancas y 4 negras. La segunda tiene 5 blancas y 2 negras y la tercera tiene 4 blancas y 7 negras.

a) Se extrae una bola de una urna elegida al azar. Haz un diagrama con las probabilidades de los posibles resultados.

b) Calcula la probabilidad de extraer una bola negra de una urna elegida al azar.

c) Se ha hecho una extracción de una bola al azar y ha resultado ser blanca. Calcula la probabilidad de que haya sido extraída de la primera urna.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{extrae}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar.}}\mathbf{\text{Haz}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{probabilidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{posibles}}\mathbf{\text{resultados.}}$

Nombramos los sucesos:

$U_1\equiv$ se elige la primera urna,
$U_2\equiv$ se elige la segunda urna,
$U_3\equiv$ se elige la tercera urna,
$B\equiv$ la bola extraída es blanca,
$N\equiv$ la bola extraída es negra.

Las tres urnas son idénticas, de modo que se elige cualquiera de ellas con la misma probabilidad:

$P(U_1)=P(U_2)=P(U_3)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

La primera urna tiene 10 bolas, la segunda 7 y la tercera 11.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{extraer}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{negra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar.}}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(N)=P(U_1)P(N\mathrm{/}{U}_1)+P(U_2)P(N\mathrm{/}{U}_2)+P(U_3)P(N\mathrm{/}{U}_3)$

$P(N)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{11}}={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{7}{11}})$

$P(N)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{154+110+245}{385}}={\displaystyle \frac{509}{1155}}\approx \mathrm{0,4407}$

La probabilidad de extraer una bola negra es ${\displaystyle \frac{509}{1155}}\approx \mathrm{0,4407}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{hecho}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{blanca.}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{urna.}}$

La probabilidad de sacar bola blanca es la del suceso contrario del anterior.

$P(B)=1-{\displaystyle \frac{509}{1155}}={\displaystyle \frac{646}{1155}}$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes.

$P(U_1\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{P(U_1)\cdot P(B\mathrm{/}{U}_1)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{10}}}{{\displaystyle \frac{646}{1155}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{5}}}{{\displaystyle \frac{646}{1155}}}}$

$P(U_1\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{1155}{5\cdot 646}}={\displaystyle \frac{231}{646}}\approx \mathrm{0,3576}$

Sabiendo que la bola extraída es blanca, la probabilidad de que proceda de la primera urna es ${\displaystyle \frac{231}{646}}\approx \mathrm{0,3576}$.