Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Un distribuidor reparte verduras procedentes de tres fincas: A (dos séptimas partes), B (dos quintas partes) y C (el resto). Durante el periodo de reparto, el porcentaje de verduras que presentan deterioros es el 4 %, el 6 % y el 5 %, respectivamente.

a) Dibujar el correspondiente diagrama de árbol.

b) En un determinado envío se han repartido 4000 kilogramos de verduras, ¿cuál es la cantidad esperada que no presenta deterioros?

c) Si se elige una verdura al azar y se observa que está deteriorada, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la finca C?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibujar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol.}}$

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ la verdura procede de la finca A,
$B\equiv$ la verdura procede de la finca B,
$C\equiv$ la verdura procede de la finca C,
$D\equiv$ la verdura presenta deterioros,
$\bar{D}\equiv$ la verdura no presenta deterioros.

Las tres fincas forman un sistema completo de sucesos; a la finca C le corresponde el resto:

$P(C)=1-{\displaystyle \frac{2}{7}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{35-10-14}{35}}={\displaystyle \frac{11}{35}}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{determinado}}\mathbf{\text{env}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{repartido}}\mathbf{\text{4000}}\mathbf{\text{kilogramos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{verduras,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{esperada}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{presenta}}\mathbf{\text{deterioros?}}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(D)=P(A)P(D\mathrm{/}A)+P(B)P(D\mathrm{/}B)+P(C)P(D\mathrm{/}C)$

$P(D)={\displaystyle \frac{2}{7}}\cdot \mathrm{0,04}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot \mathrm{0,06}+{\displaystyle \frac{11}{35}}\cdot \mathrm{0,05}={\displaystyle \frac{179}{3500}}\approx \mathrm{0,0511}$

$P(\bar{D})=1-{\displaystyle \frac{179}{3500}}={\displaystyle \frac{3321}{3500}}\approx \mathrm{0,9489}$

La cantidad esperada sin deterioros es esa proporción del envío.

$4000\cdot \mathrm{0,9489}=\mathrm{3795,43}\text{ kg}$

Se espera que unos $\mathrm{3795,43}$ kilogramos del envío no presenten deterioros.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{verdura}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{observa}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{deteriorada,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{proceda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{finca}}\mathbf{\text{C?}}$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes.

$P(C\mathrm{/}D)={\displaystyle \frac{P(C)\cdot P(D\mathrm{/}C)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{11}{35}}\cdot \mathrm{0,05}}{{\displaystyle \frac{179}{3500}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{11}{700}}}{{\displaystyle \frac{179}{3500}}}}$

$P(C\mathrm{/}D)={\displaystyle \frac{11\cdot 3500}{700\cdot 179}}={\displaystyle \frac{55}{179}}\approx \mathrm{0,3073}$

Sabiendo que la verdura está deteriorada, la probabilidad de que proceda de la finca C es ${\displaystyle \frac{55}{179}}\approx \mathrm{0,3073}$.