Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una base de datos de correos electrónicos se ha observado que el 20 % de los correos recibidos son spam. Además, se ha observado que la palabra «lottery» ha aparecido en el 40 % de los correos que son spam y en el 0,6 % de los correos que no lo son.

a) Halle la probabilidad de que en un correo elegido al azar en el que aparezca la palabra «lottery» sea spam. (1,25 puntos)

b) Halle la probabilidad de que un correo elegido al azar en el que no aparezca la palabra «lottery» no sea spam. (0,5 puntos)

c) Si un correo se etiqueta como spam si aparece la palabra «lottery» y como no spam si esta palabra no aparece, calcule la probabilidad de que un correo se etiquete incorrectamente. (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{correo}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aparezca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{palabra}}\mathbf{\text{«lottery»}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{spam.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nombramos los sucesos:

$S\equiv$ el correo es spam,
$\bar{S}\equiv$ el correo no es spam,
$L\equiv$ en el correo aparece la palabra «lottery».

Del enunciado, $P(S)=\mathrm{0,2}$, $P(L\mathrm{/}S)=\mathrm{0,4}$ y $P(L\mathrm{/}\bar{S})=\mathrm{0,006}$. Hacemos el diagrama de árbol.



Calculamos primero $P(L)$ por el teorema de la probabilidad total.

$P(L)=P(S)P(L\mathrm{/}S)+P(\bar{S})P(L\mathrm{/}\bar{S})=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,4}+\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,006}=\mathrm{0,08}+\mathrm{0,0048}=\mathrm{0,0848}$

Aplicamos ahora el teorema de Bayes.

$P(S\mathrm{/}L)={\displaystyle \frac{P(S)P(L\mathrm{/}S)}{P(L)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,0848}}}={\displaystyle \frac{50}{53}}\approx \mathrm{0,9434}$

La probabilidad de que un correo en el que aparece «lottery» sea spam es ${\displaystyle \frac{50}{53}}\approx \mathrm{0,9434}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{correo}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{aparezca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{palabra}}\mathbf{\text{«lottery»}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{spam.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es de nuevo el teorema de Bayes, ahora sobre el suceso contrario.

$P(\bar{L})=1-P(L)=1-\mathrm{0,0848}=\mathrm{0,9152}$

$P(\bar{S}\mathrm{/}\bar{L})={\displaystyle \frac{P(\bar{S})P(\bar{L}\mathrm{/}\bar{S})}{P(\bar{L})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,994}}{\mathrm{0,9152}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7952}}{\mathrm{0,9152}}}\approx \mathrm{0,8689}$

La probabilidad de que un correo sin la palabra «lottery» no sea spam es $\mathrm{0,8689}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{correo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{etiqueta}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{spam}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{aparece}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{palabra}}\mathbf{\text{«lottery»}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{spam}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{palabra}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{aparece,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{correo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{etiquete}}\mathbf{\text{incorrectamente.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Con esa regla hay dos formas de equivocarse, y son incompatibles: que el correo sea spam y no lleve la palabra, o que no sea spam y sí la lleve.

$P(\text{error})=P(S\cap \bar{L})+P(\bar{S}\cap L)$

$P(\text{error})=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,6}+\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,006}=\mathrm{0,12}+\mathrm{0,0048}=\mathrm{0,1248}$

La probabilidad de que un correo se etiquete incorrectamente es $\mathrm{0,1248}$, es decir, un 12,48 % de los correos.