Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una urna contiene 6 bolas rojas y 4 azules. Se extrae una bola al azar y se reemplaza por seis bolas del otro color. A continuación, se vuelve a extraer una segunda bola de la urna.

a) Calcule la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja. (1,5 puntos)

b) Si sabemos que la segunda bola extraída es azul, ¿cuál es la probabilidad de que también lo haya sido la primera? (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{roja.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nombramos los sucesos $R_1$ y $A_1$ según el color de la primera bola, y $R_2$ y $A_2$ según el de la segunda.

La urna tiene inicialmente 6 bolas rojas y 4 azules, es decir, 10 bolas.

$P(R_1)={\displaystyle \frac{6}{10}}P(A_1)={\displaystyle \frac{4}{10}}$

La bola extraída no se devuelve: se sustituye por seis bolas del otro color, así que la urna pasa a tener 15 bolas.

Si la primera es roja, quedan $6-1=5$ rojas y $4+6=10$ azules.

Si la primera es azul, quedan $6+6=12$ rojas y $4-1=3$ azules.

Hacemos el diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(R_2)=P(R_1)P(R_2\mathrm{/}{R}_1)+P(A_1)P(R_2\mathrm{/}{A}_1)={\displaystyle \frac{6}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{15}}+{\displaystyle \frac{4}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{12}{15}}$

$P(R_2)={\displaystyle \frac{30}{150}}+{\displaystyle \frac{48}{150}}={\displaystyle \frac{78}{150}}={\displaystyle \frac{13}{25}}=\mathrm{0,52}$

La probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja es $\mathrm{0,52}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{azul,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Es una probabilidad a posteriori. Utilizamos el teorema de Bayes. El suceso «la segunda es azul» es el contrario del anterior.

$P(A_2)=1-P(R_2)=1-{\displaystyle \frac{13}{25}}={\displaystyle \frac{12}{25}}=\mathrm{0,48}$

$P(A_1\mathrm{/}{A}_2)={\displaystyle \frac{P(A_1)P(A_2\mathrm{/}{A}_1)}{P(A_2)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{15}}}{{\displaystyle \frac{12}{25}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{12}{150}}}{{\displaystyle \frac{72}{150}}}}={\displaystyle \frac{12}{72}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}$

Sabiendo que la segunda bola es azul, la probabilidad de que la primera también lo fuera es ${\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}$.