Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una empresa de biotecnología ha desarrollado una prueba para una enfermedad. Se estima que el 3 % de la población padece la enfermedad. La prueba es altamente sensible, dando positivo en el 98 % de las personas enfermas. Sin embargo, en el 5 % de las personas sanas, la prueba da un falso positivo. Realice las siguientes tareas que se plantean: [3 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar dé positivo en la prueba. [1 punto]

b) Si una persona ha dado positivo, calcule la probabilidad de que realmente esté sana. [1 punto]

c) Calcule la probabilidad de que la prueba dé un resultado incorrecto para una persona elegida al azar. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{positivo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se nombran los sucesos:

$E\equiv$ la persona padece la enfermedad,

$\bar{E}\equiv$ la persona está sana,

$P\equiv$ la prueba da positivo,

$\bar{P}\equiv$ la prueba da negativo.

Del enunciado se leen $P(E)=\mathrm{0,03}$, $P(P\mathrm{/}E)=\mathrm{0,98}$ y $P(P\mathrm{/}\bar{E})=\mathrm{0,05}$, y de ahí $P(\bar{E})=1-\mathrm{0,03}=\mathrm{0,97}$.

El experimento tiene dos etapas —primero el estado de salud y después el resultado de la prueba—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Los sucesos $E$ y $\bar{E}$ forman un sistema completo, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(P)=P(E)\cdot P(P\mathrm{/}E)+P(\bar{E})\cdot P(P\mathrm{/}\bar{E})$

$P(P)=\mathrm{0,03}\cdot \mathrm{0,98}+\mathrm{0,97}\cdot \mathrm{0,05}=\mathrm{0,0294}+\mathrm{0,0485}=\mathrm{0,0779}$

La probabilidad de que una persona elegida al azar dé positivo es $\mathrm{0,0779}$, es decir, un 7,79 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{positivo,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{realmente}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sana.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes.

$P(\bar{E}\mathrm{/}P)={\displaystyle \frac{P(\bar{E})\cdot P(P\mathrm{/}\bar{E})}{P(P)}}$

$P(\bar{E}\mathrm{/}P)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,97}\cdot \mathrm{0,05}}{\mathrm{0,0779}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0485}}{\mathrm{0,0779}}}={\displaystyle \frac{485}{779}}\approx \mathrm{0,6226}$

De cada 100 personas que dan positivo, unas 62 están en realidad sanas: la probabilidad pedida es $\mathrm{0,6226}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{incorrecto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La prueba se equivoca en dos casos incompatibles: cuando la persona está sana y da positivo (falso positivo) y cuando está enferma y da negativo (falso negativo). La probabilidad pedida es la suma de las dos ramas del árbol.

$P(\text{error})=P(\bar{E})\cdot P(P\mathrm{/}\bar{E})+P(E)\cdot P(\bar{P}\mathrm{/}E)$

$P(\bar{P}\mathrm{/}E)=1-P(P\mathrm{/}E)=1-\mathrm{0,98}=\mathrm{0,02}$

$P(\text{error})=\mathrm{0,97}\cdot \mathrm{0,05}+\mathrm{0,03}\cdot \mathrm{0,02}=\mathrm{0,0485}+\mathrm{0,0006}=\mathrm{0,0491}$

La probabilidad de que la prueba dé un resultado incorrecto es $\mathrm{0,0491}$, es decir, un 4,91 %.