Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En un instituto, se sabe que el 45 % de los estudiantes practican algún deporte, el 30 % participan en actividades artísticas y el 25 % están involucrados en actividades de voluntariado. Además, se sabe que el 60 % de los estudiantes que practican deportes, el 40 % de los que participan en actividades artísticas y el 20 % de los que están involucrados en actividades de voluntariado también son miembros del consejo estudiantil. Si se escoge al azar un estudiante: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que practique deporte y sea miembro del consejo estudiantil? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante participe en actividades artísticas y no sea miembro del consejo estudiantil? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea miembro del consejo estudiantil? [0,75 puntos]

d) Si un estudiante no es miembro del consejo estudiantil, ¿cuál es la probabilidad de que participe en actividades de voluntariado? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{practique}}\mathbf{\text{deporte}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{miembro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{consejo}}\mathbf{\text{estudiantil?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran los sucesos:

$D\equiv$ practicar algún deporte,

$A\equiv$ participar en actividades artísticas,

$V\equiv$ estar involucrado en actividades de voluntariado,

$C\equiv$ ser miembro del consejo estudiantil, y $\bar{C}\equiv$ no serlo.

Del enunciado se leen $P(D)=\mathrm{0,45}$, $P(A)=\mathrm{0,30}$, $P(V)=\mathrm{0,25}$, $P(C\mathrm{/}D)=\mathrm{0,60}$, $P(C\mathrm{/}A)=\mathrm{0,40}$ y $P(C\mathrm{/}V)=\mathrm{0,20}$. Los tres primeros suman 1, de modo que forman un sistema completo.

El experimento tiene dos etapas —primero la actividad y después la pertenencia al consejo—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de recorrer la rama $D$ y después la rama $C$.

$P(D\cap C)=P(D)\cdot P(C\mathrm{/}D)=\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,27}$

La probabilidad de que el estudiante practique deporte y sea miembro del consejo estudiantil es $\mathrm{0,27}$, es decir, un 27 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{participe}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{actividades}}\mathbf{\text{art}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sticas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{miembro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{consejo}}\mathbf{\text{estudiantil?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se recorre ahora la rama $A$ seguida de $\bar{C}$.

$P(A\cap \bar{C})=P(A)\cdot P(\bar{C}\mathrm{/}A)=\mathrm{0,30}\cdot (1-\mathrm{0,40})=\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,18}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,18}$, es decir, un 18 %.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{miembro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{consejo}}\mathbf{\text{estudiantil?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Como $D$, $A$ y $V$ forman un sistema completo, se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $C$.

$P(C)=P(D)P(C\mathrm{/}D)+P(A)P(C\mathrm{/}A)+P(V)P(C\mathrm{/}V)$

$P(C)=\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,60}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,40}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,20}$

$P(C)=\mathrm{0,27}+\mathrm{0,12}+\mathrm{0,05}=\mathrm{0,44}$

La probabilidad de que un estudiante sea miembro del consejo estudiantil es $\mathrm{0,44}$, es decir, un 44 %.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{miembro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{consejo}}\mathbf{\text{estudiantil,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{participe}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{actividades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{voluntariado?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes con el suceso contrario.

$P(\bar{C})=1-P(C)=1-\mathrm{0,44}=\mathrm{0,56}$

$P(V\mathrm{/}\bar{C})={\displaystyle \frac{P(V)\cdot P(\bar{C}\mathrm{/}V)}{P(\bar{C})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,80}}{\mathrm{0,56}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,20}}{\mathrm{0,56}}}={\displaystyle \frac{5}{14}}\approx \mathrm{0,3571}$

Si el estudiante no es miembro del consejo, la probabilidad de que participe en actividades de voluntariado es ${\displaystyle \frac{5}{14}}\approx \mathrm{0,3571}$, es decir, un 35,71 %.