Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

El 65 % de los clientes de un cierto supermercado compra leche de origen animal, el 25 % compra leche de origen vegetal y el 10 % restante no compra leche de ningún tipo. Además, el 20 % de los que compran leche de origen animal, el 70 % de los que compran leche de origen vegetal y el 10 % de los que no compran leche de ningún tipo compran también galletas de soja. Si se escoge al azar un cliente del supermercado: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que compre leche de origen animal y galletas de soja? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que compre leche de origen vegetal y no compre galletas de soja? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que compre galletas de soja? [0,75 puntos]

d) Si no compra galletas de soja, ¿cuál es la probabilidad de que compre leche de origen vegetal? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{compre}}\mathbf{\text{leche}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{animal}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{galletas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soja?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran los sucesos:

$A\equiv$ comprar leche de origen animal,

$V\equiv$ comprar leche de origen vegetal,

$N\equiv$ no comprar leche de ningún tipo,

$G\equiv$ comprar galletas de soja, y $\bar{G}\equiv$ no comprarlas.

Del enunciado se leen $P(A)=\mathrm{0,65}$, $P(V)=\mathrm{0,25}$, $P(N)=\mathrm{0,10}$, $P(G\mathrm{/}A)=\mathrm{0,20}$, $P(G\mathrm{/}V)=\mathrm{0,70}$ y $P(G\mathrm{/}N)=\mathrm{0,10}$.

El experimento tiene dos etapas —primero el tipo de leche y después las galletas—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de recorrer la rama $A$ y después la rama $G$.

$P(A\cap G)=P(A)\cdot P(G\mathrm{/}A)=\mathrm{0,65}\cdot \mathrm{0,20}=\mathrm{0,13}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,13}$, es decir, un 13 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{compre}}\mathbf{\text{leche}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{vegetal}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{compre}}\mathbf{\text{galletas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soja?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se recorre ahora la rama $V$ seguida de $\bar{G}$.

$P(V\cap \bar{G})=P(V)\cdot P(\bar{G}\mathrm{/}V)=\mathrm{0,25}\cdot (1-\mathrm{0,70})=\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,30}=\mathrm{0,075}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,075}$, es decir, un 7,5 %.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{compre}}\mathbf{\text{galletas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soja?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los sucesos $A$, $V$ y $N$ forman un sistema completo, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $G$.

$P(G)=P(A)P(G\mathrm{/}A)+P(V)P(G\mathrm{/}V)+P(N)P(G\mathrm{/}N)$

$P(G)=\mathrm{0,65}\cdot \mathrm{0,20}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,70}+\mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,10}$

$P(G)=\mathrm{0,13}+\mathrm{0,175}+\mathrm{0,01}=\mathrm{0,315}$

La probabilidad de que el cliente compre galletas de soja es $\mathrm{0,315}$, es decir, un 31,5 %.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{compra}}\mathbf{\text{galletas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soja,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{compre}}\mathbf{\text{leche}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{vegetal?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes con el suceso contrario.

$P(\bar{G})=1-P(G)=1-\mathrm{0,315}=\mathrm{0,685}$

$P(V\mathrm{/}\bar{G})={\displaystyle \frac{P(V)\cdot P(\bar{G}\mathrm{/}V)}{P(\bar{G})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,075}}{\mathrm{0,685}}}={\displaystyle \frac{15}{137}}\approx \mathrm{0,1095}$

Si el cliente no compra galletas de soja, la probabilidad de que compre leche de origen vegetal es ${\displaystyle \frac{15}{137}}\approx \mathrm{0,1095}$, es decir, un 10,95 %.