Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una empresa juguetera lanza al mercado un nuevo modelo de balón de playa, que fabrica en tres plantas, A, B y C, de las que salen respectivamente el 45 %, 21 % y el 34 % de la producción total. Se ha detectado un fallo en la máquina utilizada en cada planta para aplicar los colores. De hecho, sale defectuoso el 1 % de los balones procedentes de la planta A, el 3 % de los provenientes de la B, y el 2 % de los de la C.

Seleccionamos un balón al azar de entre todos los que han salido de las tres plantas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso y haya pasado por la máquina de la planta A? [1,25 puntos]

b) Si no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido de la máquina de la planta B? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuoso}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{pasado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{planta}}\mathbf{\text{A?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran los sucesos:

$A\equiv$ el balón procede de la planta A,

$B\equiv$ procede de la planta B,

$C\equiv$ procede de la planta C,

$D\equiv$ el balón es defectuoso, y $\bar{D}\equiv$ no lo es.

Del enunciado se leen $P(A)=\mathrm{0,45}$, $P(B)=\mathrm{0,21}$, $P(C)=\mathrm{0,34}$, $P(D\mathrm{/}A)=\mathrm{0,01}$, $P(D\mathrm{/}B)=\mathrm{0,03}$ y $P(D\mathrm{/}C)=\mathrm{0,02}$.

El experimento tiene dos etapas —primero la planta de procedencia y después el control de calidad—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de recorrer la rama $A$ y después la rama $\bar{D}$.

$P(A\cap \bar{D})=P(A)\cdot P(\bar{D}\mathrm{/}A)=\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,99}=\mathrm{0,4455}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,4455}$, es decir, un 44,55 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{defectuoso,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{salido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{planta}}\mathbf{\text{B?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes, y para el denominador hace falta antes la probabilidad total de que el balón no sea defectuoso.

$P(\bar{D})=P(A)P(\bar{D}\mathrm{/}A)+P(B)P(\bar{D}\mathrm{/}B)+P(C)P(\bar{D}\mathrm{/}C)$

$P(\bar{D})=\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,99}+\mathrm{0,21}\cdot \mathrm{0,97}+\mathrm{0,34}\cdot \mathrm{0,98}$

$P(\bar{D})=\mathrm{0,4455}+\mathrm{0,2037}+\mathrm{0,3332}=\mathrm{0,9824}$

$P(B\mathrm{/}\bar{D})={\displaystyle \frac{P(B)\cdot P(\bar{D}\mathrm{/}B)}{P(\bar{D})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2037}}{\mathrm{0,9824}}}={\displaystyle \frac{2037}{9824}}\approx \mathrm{0,2073}$

Si el balón no es defectuoso, la probabilidad de que proceda de la planta B es ${\displaystyle \frac{2037}{9824}}\approx \mathrm{0,2073}$, es decir, un 20,73 %.