Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una asignatura que cursan conjuntamente estudiantes de las especialidades A y B de cierta carrera, el 60 % del alumnado es de la especialidad A y el resto de la B. El porcentaje de suspensos sobre el conjunto del alumnado es del 30 %, mientras que si consideramos solo el alumnado de la especialidad A, este porcentaje sube al 40 %.

a) Determine la probabilidad de que una persona elegida al azar de entre todo el alumnado sea de especialidad A y suspenda la asignatura. [0,5 puntos]

b) Si se elige al azar un o una estudiante que haya aprobado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo B? [1,5 puntos]

c) ¿Es independiente, en términos de sucesos, suspender del grupo al que se pertenece? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{alumnado}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{especialidad}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{suspenda}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{asignatura.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran los sucesos $A$ = «es de la especialidad A», $B$ = «es de la B» y $S$ = «suspende». Los datos son

$P(A)=\mathrm{0,60}P(B)=\mathrm{0,40}P(S)=\mathrm{0,30}P(S\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,40}$

Lo que se pide es la probabilidad de la intersección, que sale de la definición de probabilidad condicionada:

$P(A\cap S)=P(A)\cdot P(S\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,40}$

$P(A\cap S)=\mathrm{0,24}$

Un 24 % del alumnado es de la especialidad A y suspende.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{aprobado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{asignatura,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pertenezca}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{grupo}}\mathbf{\text{B?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Conviene organizar los datos en una tabla de contingencia, que aquí es más cómoda que el árbol porque se conoce el total de suspensos:

$$	Suspende	Aprueba	Total Especialidad A	0,24	0,36	0,60 Especialidad B	0,06	0,34	0,40 Total	0,30	0,70	1,00

La casilla de A y suspenso es la del apartado anterior; la de B y suspenso sale por diferencia, $\mathrm{0,30}-\mathrm{0,24}=\mathrm{0,06}$, y el resto se completa restando de los totales.

Ahora la probabilidad pedida es una condicionada:

$P(B\mathrm{\mid }\bar{S})=\frac{P(B\cap \bar{S})}{P(\bar{S})}=\frac{\mathrm{0,34}}{\mathrm{0,70}}$

$P(B\mathrm{\mid }\bar{S})=\mathrm{0,486}$

Entre quienes aprueban, un $\mathrm{48,6}\mathrm{\%}$ es de la especialidad B, bastante más que el 40 % que representa en el conjunto del alumnado.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{independiente,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sucesos,}}\mathbf{\text{suspender}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{grupo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pertenece?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos sucesos son independientes cuando $P(S\mathrm{\mid }A)=P(S)$, o equivalentemente cuando $P(A\cap S)=P(A)\cdot P(S)$. Aquí:

$P(S\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,40}P(S)=\mathrm{0,30}$

$P(A)\cdot P(S)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,30}=\mathrm{0,18}\mathrm{\ne }\mathrm{0,24}=P(A\cap S)$

No son independientes. Pertenecer a la especialidad A eleva la probabilidad de suspender del 30 % al 40 %, mientras que en la B la baja hasta

$P(S\mathrm{\mid }B)=\frac{\mathrm{0,06}}{\mathrm{0,40}}=\mathrm{0,15}$

un 15 %. La diferencia entre los dos grupos es considerable.