Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una marca de bolsos comercializó tres modelos la pasada primavera. El 3 % del total de bolsos fabricados salieron defectuosos. Por otra parte, el 30 % de todos los bolsos fabricados eran de tipo A; el 35 %, de tipo B y el resto, de tipo C. Además se sabe que el 3 % de los de tipo A y el 5 % de los de tipo C salieron defectuosos.

a) Elegido al azar un bolso entre los de tipo B, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? [1,5 puntos]

b) Elegido un bolso al azar entre los defectuosos, ¿es más probable que sea de tipo A o de tipo B? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{bolso}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuoso?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $A$, $B$ y $C$ los tres modelos y $D$ el suceso «sale defectuoso». Los datos son

$P(A)=\mathrm{0,30}P(B)=\mathrm{0,35}P(C)=\mathrm{0,35}$

$P(D)=\mathrm{0,03}P(D\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,03}P(D\mathrm{\mid }C)=\mathrm{0,05}$

La incógnita es $P(D\mathrm{\mid }B)$, y la ecuación que la contiene es la del teorema de la probabilidad total:

$P(D)=P(A)P(D\mathrm{\mid }A)+P(B)P(D\mathrm{\mid }B)+P(C)P(D\mathrm{\mid }C)$

$\mathrm{0,03}=\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,03}+\mathrm{0,35}\cdot P(D\mathrm{\mid }B)+\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,05}$

$\mathrm{0,03}=\mathrm{0,009}+\mathrm{0,35}P(D\mathrm{\mid }B)+\mathrm{0,0175}$

$\mathrm{0,35}P(D\mathrm{\mid }B)=\mathrm{0,03}-\mathrm{0,0265}=\mathrm{0,0035}$

$P(D\mathrm{\mid }B)=\frac{\mathrm{0,0035}}{\mathrm{0,35}}=\mathrm{0,01}$

Solo un $1\mathrm{\%}$ de los bolsos de tipo B sale defectuoso: es el modelo que mejor se fabrica de los tres.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{bolso}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{defectuosos,}}\mathbf{\text{¿es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{probable}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se aplica el teorema de Bayes a los dos modelos, con el mismo denominador $P(D)=\mathrm{0,03}$:

$P(A\mathrm{\mid }D)=\frac{P(A)P(D\mathrm{\mid }A)}{P(D)}=\frac{\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,03}}{\mathrm{0,03}}=\frac{\mathrm{0,009}}{\mathrm{0,03}}=\mathrm{0,30}$

$P(B\mathrm{\mid }D)=\frac{P(B)P(D\mathrm{\mid }B)}{P(D)}=\frac{\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,01}}{\mathrm{0,03}}=\frac{\mathrm{0,0035}}{\mathrm{0,03}}=\mathrm{0,117}$

Es bastante $\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{probable}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}$: casi el triple. La razón es doble: el tipo A tiene una tasa de defectos tres veces mayor que el B, y eso pesa más que la ligera diferencia de producción a favor del B.

Como comprobación, el tercer modelo se lleva el resto:

$P(C\mathrm{\mid }D)=\frac{\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,05}}{\mathrm{0,03}}=\mathrm{0,583}$

y en efecto $\mathrm{0,30}+\mathrm{0,117}+\mathrm{0,583}=1$: más de la mitad de los bolsos defectuosos son de tipo C.