Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una fábrica de tomate elabora y envasa distintos tipos de tomate. En el proceso de elaboración, el 20 % corresponde a tomate triturado, el 70 % a tomate frito, y el resto a mermelada de tomate. Del total de tomate triturado procesado, el 3 % se rechaza por contener impurezas. Lo mismo ocurre con el 7 % del tomate frito y con el 2 % de la mermelada. Se pide:

a) Calcule la probabilidad de que, elegido un producto al azar, resulte ser de los que se ha rechazado por contener impurezas. [1 punto]

b) Sabiendo que el producto elegido no ha sido rechazado, calcule la probabilidad de que ese producto sea mermelada. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$T\equiv$ el producto es tomate triturado,
$F\equiv$ el producto es tomate frito,
$M\equiv$ el producto es mermelada,
$R\equiv$ el producto se rechaza por contener impurezas.

Los tres tipos de producto forman un sistema completo de sucesos. La mermelada es el resto: $100-20-70=10$ %.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{resulte}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{rechazado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{contener}}\mathbf{\text{impurezas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Al formar los tres tipos de producto un sistema completo de sucesos, se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que acaban en un producto rechazado.

$P(R)=P(T)\cdot P(R\mathrm{/}T)+P(F)\cdot P(R\mathrm{/}F)+P(M)\cdot P(R\mathrm{/}M)$

$P(R)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,03}+\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,07}+\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,02}$

$P(R)=\mathrm{0,006}+\mathrm{0,049}+\mathrm{0,002}=\mathrm{0,057}$

La probabilidad de que un producto elegido al azar haya sido rechazado por contener impurezas es $\mathrm{0,057}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{rechazado,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mermelada.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es una probabilidad a posteriori, porque se conoce el resultado del control y se pregunta por la causa. Se aplica el teorema de Bayes tomando como condicionante el suceso contrario de $R$.

$P(\bar{R})=1-P(R)=1-\mathrm{0,057}=\mathrm{0,943}$

$P(M\mathrm{/}\bar{R})={\displaystyle \frac{P(M)\cdot P(\bar{R}\mathrm{/}M)}{P(\bar{R})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,98}}{\mathrm{0,943}}}$

$P(M\mathrm{/}\bar{R})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,098}}{\mathrm{0,943}}}={\displaystyle \frac{98}{943}}\approx \mathrm{0,1039}$

Si el producto no ha sido rechazado, la probabilidad de que sea mermelada es ${\displaystyle \frac{98}{943}}\approx \mathrm{0,1039}$.