Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una piscifactoría realiza un estudio de mercado para determinados tipos de pescado (salmones y truchas). Los salmones suponen el 70 % de la producción y las truchas el 30 % de la producción. El 40 % de los salmones se vende en España, el 35 % en Portugal y el resto en otros países. En cuanto a las truchas, el 30 % se vende en España, el 10 % en Portugal y el resto en otros países. Se pide, razonando la respuesta:

a) Calcule la probabilidad de que un pescado sea vendido en países distintos de España y Portugal. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un pescado que sabemos que se ha vendido en Portugal, sea trucha. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$S\equiv$ el pescado es un salmón,
$T\equiv$ el pescado es una trucha,
$E\equiv$ se vende en España,
$P\equiv$ se vende en Portugal,
$O\equiv$ se vende en otros países.

Los dos tipos de pescado forman un sistema completo de sucesos. El resto de las ventas son las de otros países: $100-40-35=25$ % en los salmones y $100-30-10=60$ % en las truchas.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{pescado}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{vendido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{pa}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ses}}\mathbf{\text{distintos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Espa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{Portugal.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Al formar los dos tipos de pescado un sistema completo de sucesos, se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las dos ramas del árbol que acaban en «otros países».

$P(O)=P(S)\cdot P(O\mathrm{/}S)+P(T)\cdot P(O\mathrm{/}T)$

$P(O)=\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,25}+\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,175}+\mathrm{0,18}=\mathrm{0,355}$

La probabilidad de que un pescado se venda en países distintos de España y Portugal es $\mathrm{0,355}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{pescado}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{vendido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Portugal,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{trucha.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es una probabilidad a posteriori, porque se conoce el destino de la venta y se pregunta por el tipo de pescado. Se aplica el teorema de Bayes, y para ello hace falta primero la probabilidad total de vender en Portugal.

$P(P)=P(S)\cdot P(P\mathrm{/}S)+P(T)\cdot P(P\mathrm{/}T)=\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,35}+\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,1}$

$P(P)=\mathrm{0,245}+\mathrm{0,03}=\mathrm{0,275}$

$P(T\mathrm{/}P)={\displaystyle \frac{P(T)\cdot P(P\mathrm{/}T)}{P(P)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,1}}{\mathrm{0,275}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}}{\mathrm{0,275}}}$

$P(T\mathrm{/}P)={\displaystyle \frac{6}{55}}\approx \mathrm{0,1091}$

Si un pescado se ha vendido en Portugal, la probabilidad de que sea trucha es ${\displaystyle \frac{6}{55}}\approx \mathrm{0,1091}$.