Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Los alumnos de un colegio de una localidad andaluza van a realizar una excursión a la estación de esquí de Sierra Nevada desplazándose en tres autobuses $A$, $B$ y $C$. En el autobús $A$ se desplazan cuatro novenos de los alumnos de la excursión, en el $B$ se desplaza la tercera parte y el resto van en el autobús $C$. Se sabe que el 65 % de los alumnos que viajan en el autobús $A$ y el 40 % de los del autobús $B$ no sabe esquiar y todos los del autobús $C$ sí que saben esquiar. Se escoge al azar a uno de los alumnos de la excursión. Calcule la probabilidad de que:

a) Sepa esquiar. [1 punto]

b) Viaje en el autobús $C$, si sabe esquiar. [0,75 puntos]

c) Sepa esquiar y no viaje en el autobús $B$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Sepa}}\mathbf{\text{esquiar.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Llamamos $A$, $B$ y $C$ a los sucesos «el alumno viaja en ese autobús» y $S$ al suceso «sabe esquiar». Del enunciado, $P(A)={\displaystyle \frac{4}{9}}$ y $P(B)={\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{3}{9}}$, y como el resto va en el tercer autobús,

$P(C)=1-{\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$

Los porcentajes que da el enunciado son de alumnos que NO saben esquiar, así que los pasamos al suceso contrario: sabe esquiar el 35 \% de los del autobús A, el 60 \% de los del B y el 100 \% de los del C.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(S)=P(A)P(S\mathrm{/}A)+P(B)P(S\mathrm{/}B)+P(C)P(S\mathrm{/}C)$

$P(S)={\displaystyle \frac{4}{9}}\cdot \mathrm{0,35}+{\displaystyle \frac{3}{9}}\cdot \mathrm{0,60}+{\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot 1={\displaystyle \frac{\mathrm{1,4}+\mathrm{1,8}+2}{9}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,2}}{9}}$

$P(S)={\displaystyle \frac{26}{45}}\approx \mathrm{0,5778}$

La probabilidad de que el alumno elegido sepa esquiar es ${\displaystyle \frac{26}{45}}\approx \mathrm{0,5778}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Viaje}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{autob}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{s}}\mathit{C}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{esquiar.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado y se pregunta por la causa, así que aplicamos el teorema de Bayes. Como todos los del autobús C saben esquiar, $P(C\cap S)=P(C)$.

$P(C\mathrm{/}S)={\displaystyle \frac{P(C)\cdot P(S\mathrm{/}C)}{P(S)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot 1}{{\displaystyle \frac{26}{45}}}}={\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{45}{26}}={\displaystyle \frac{5}{13}}\approx \mathrm{0,3846}$

Sabiendo que el alumno sabe esquiar, la probabilidad de que viaje en el autobús $C$ es ${\displaystyle \frac{5}{13}}\approx \mathrm{0,3846}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Sepa}}\mathbf{\text{esquiar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{viaje}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{autob}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{s}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

No viajar en el autobús $B$ es viajar en el $A$ o en el $C$, sucesos incompatibles entre sí, de modo que se recorren esas dos ramas del árbol y se suman.

$P(S\cap \bar{B})=P(A)P(S\mathrm{/}A)+P(C)P(S\mathrm{/}C)={\displaystyle \frac{4}{9}}\cdot \mathrm{0,35}+{\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot 1$

$P(S\cap \bar{B})={\displaystyle \frac{\mathrm{1,4}+2}{9}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,4}}{9}}={\displaystyle \frac{17}{45}}\approx \mathrm{0,3778}$

La probabilidad de que el alumno sepa esquiar y no viaje en el autobús $B$ es ${\displaystyle \frac{17}{45}}\approx \mathrm{0,3778}$.