Examen de Matemáticas CCSS de Cantabria 2022 (convocatoria extraordinaria)

En un día de playa y bajo un sol radiante Fabiola se acerca al chiringuito y compra 3 helados, 2 granizados y 2 horchatas, pagando un total de 20 €. Al comprobar el ticket se da cuenta de que le han cobrado un helado y una horchata de más. Tras reclamar, el vendedor le devuelve 5 €. Además, para compensar el error, le ofrece llevarse en promoción un helado y un granizado por 2 €, lo que supone un descuento del 50 % respecto a sus precios originales. [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permita calcular el precio (sin descuento) de un helado, un granizado y una horchata. [1,25 puntos]

b) Resuélvalo. [1,25 puntos]

Un ganadero pasiego necesita ampliar su explotación de bovino, para lo cual decide comprar vacas de las razas parda y frisona. Como máximo, tiene planeado adquirir un total de 160 vacas para su cría. Cuando llegue el momento de venderlas, por cada ejemplar de parda espera obtener un beneficio neto de 350 €, y por cada frisona uno de 500 €. Tiene claro que no comprará más de 50 pardas ni menos de 70 frisonas. Además, quiere que el número de vacas pardas sea, al menos, una tercera parte del de frisonas. [2,5 puntos]

a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [0,75 puntos]

b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]

c) ¿Cuántas vacas de cada tipo debe comprar para obtener el máximo beneficio? [0,5 puntos]

d) ¿A cuánto asciende dicho beneficio? [0,25 puntos]

Dadas las funciones $f(x)=-x^2-2x+8$ y $g(x)=2x^2-2x-4$: [2,5 puntos]

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ambas funciones. [0,5 puntos]

b) ¿Cuáles y de qué tipo (máximo/mínimo relativo/absoluto) son los extremos de ambas funciones? [0,5 puntos]

c) Dibuje la gráfica de ambas funciones, indicando claramente sus puntos de corte con los ejes OX y OY, así como los puntos de corte entre $f$ y $g$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área de la región que queda encerrada entre las funciones $f$ y $g$. [1 punto]

Se sabe que la evolución del precio del oro en el mercado ($P$, expresado en €/kg) a lo largo de un mes de 31 días viene dado por la siguiente función:

$P(d)={\displaystyle \frac{1}{3}}{d}^3-15d^2+144d+1500$, con $1\le d\le 31$

donde $d$ indica el día del mes. [2,5 puntos]

a) ¿Qué día del mes habría que vender el oro para obtener la máxima ganancia? ¿A cuánto ascendería dicha ganancia si se vendiesen 4 kg de oro? [1 punto]

b) ¿Qué día del mes es el peor para vender oro? ¿Cuál sería la ganancia si se vendiesen los 4 kg de oro ese día? [1 punto]

c) Si se viese obligado a vender 1 kg de oro entre los días 20 y 31 del mes y quisiera obtener la máxima ganancia, ¿en qué día lo haría? ¿Cuánto ganaría con la venta? [0,5 puntos]

La enóloga de una bodega ha determinado que el porcentaje de alcohol presente en sus botellas de vino sigue una distribución normal con una desviación típica de 0,53 %. Una muestra de 120 botellas, escogidas al azar, arroja un valor promedio para el porcentaje de alcohol por botella de 12,05 %. [2,5 puntos]

a) Obtenga el intervalo de confianza del 95 % para el valor promedio del porcentaje de alcohol por botella. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el número mínimo de botellas que habría que considerar para que el error cometido al estimar el valor medio del porcentaje de alcohol por botella, con un nivel de confianza del 97,5 %, fuese de 0,1 %? [1,25 puntos]

El 65 % de los clientes de un cierto supermercado compra leche de origen animal, el 25 % compra leche de origen vegetal y el 10 % restante no compra leche de ningún tipo. Además, el 20 % de los que compran leche de origen animal, el 70 % de los que compran leche de origen vegetal y el 10 % de los que no compran leche de ningún tipo compran también galletas de soja. Si se escoge al azar un cliente del supermercado: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que compre leche de origen animal y galletas de soja? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que compre leche de origen vegetal y no compre galletas de soja? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que compre galletas de soja? [0,75 puntos]

d) Si no compra galletas de soja, ¿cuál es la probabilidad de que compre leche de origen vegetal? [0,75 puntos]