Examen de Matemáticas CCSS de Cantabria 2021 (convocatoria extraordinaria)

Tres estudiantes de Economía, Cristina, Juan y Pedro, han preparado un trabajo de investigación que deben exponer en clase. Se repartieron las tareas de la siguiente forma: Cristina llevó a cabo la labor de recopilación de datos, en la que empleó un 40 % más que el tiempo que Juan necesitó para redactar el texto. Pedro desempeñó las tareas de revisión y de preparación de la exposición, siendo el tiempo dedicado a ello la mitad del empleado en total por Cristina y Juan.

El tiempo total empleado fue de 18 horas. ¿Cuánto dedicó cada alumno a la elaboración del trabajo? [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular el tiempo empleado por cada estudiante. [0,9 puntos]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]

c) Resuélvalo. [0,8 puntos]

Una tienda de material informático dispone de 96 lapiceros con memoria USB y 15 tabletas digitales, para organizar dos tipos de lotes. Un lote A tendrá 3 lapiceros y una tableta; un lote B tendrá 6 lapiceros y una tableta. El precio de venta de un lote A es de 70 euros y el de un lote B, 160 euros. Además, el número de lotes B debe ser como máximo la mitad de lotes A. ¿Cuántos lotes deben prepararse y venderse para obtener unos ingresos máximos? ¿A cuánto ascienden esos ingresos? [2,5 puntos]

Una agencia de viajes organiza una excursión para los empleados de una empresa. Eso le supone unos gastos fijos por viajero de 475 euros además de los 850 euros del alquiler del autocar. Con un grupo de 20 personas, cobra a cada viajero 525 euros, pero presenta la siguiente oferta a la empresa: por cada nuevo viajero inscrito, rebajará el precio del viaje en 1,25 euros. ¿Con cuántos viajeros consigue unos beneficios máximos? ¿Cuánto paga cada viajero? [2,5 puntos]

Dada la función $f(x)=x^3-3x$: [2,5 puntos]

a) Obtenga sus puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]

b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [0,5 puntos]

c) Determine sus intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan. [0,5 puntos]

d) Dibuje la gráfica de $f(x)$ e indique la región delimitada por dicha curva y la recta $y=x$. [0,25 puntos]

e) Calcule el área de la región anterior. [1 punto]

El número de libros que los estudiantes de un instituto leen al año, sigue una distribución normal con desviación típica 1. Una muestra aleatoria de 125 alumnos da como resultado una media de 4 libros. [2,5 puntos]

a) Obtenga el intervalo de confianza del 94 % para la media. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 97 % sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior? [1,25 puntos]

El 23 % de los habitantes de una localidad son menores de 25 años. El 31 % tienen una edad comprendida entre los 26 y 60 años. El 46 % restante es mayor de 60 años. El ayuntamiento ha recibido la petición de instalación de un parque eólico en unos terrenos municipales. Entre la población más joven, el 68 % es partidario de la instalación; entre los habitantes entre 26 y 60 años, lo es el 53 %; y entre los mayores de 60 años, el 42 %.

Seleccionamos un habitante al azar: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea favorable a la instalación del parque eólico? [0,75 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea favorable y mayor de 60 años? [0,75 puntos]

c) Si no es favorable, ¿cuál es la probabilidad de que sea menor de 25 años? [1 punto]