Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Dada la función $f(x)=x^3-3x$: [2,5 puntos]

a) Obtenga sus puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]

b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [0,5 puntos]

c) Determine sus intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan. [0,5 puntos]

d) Dibuje la gráfica de $f(x)$ e indique la región delimitada por dicha curva y la recta $y=x$. [0,25 puntos]

e) Calcule el área de la región anterior. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{OX}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{OY.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)=0^3-3\cdot 0=0\Rightarrow (0,0)$

Para los cortes con el eje OX se anula la función sacando factor común.

$x^3-3x=0\Rightarrow x(x^2-3)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{3}\end{array}$

La gráfica corta a los ejes en $(-\sqrt{3},0)$, $(0,0)$ y $(\sqrt{3},0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{existan.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se deriva y se anula la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2=3\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Se estudia el signo de la derivada antes, entre y después de los dos puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(-2)=12-3=9>0,f^{\mathrm{\prime }}(0)=-3<0,f^{\mathrm{\prime }}(2)=12-3=9>0$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-1,1)$.

$f(-1)=-1+3=2,f(1)=1-3=-2$

Hay un máximo relativo en $(-1,2)$ y un mínimo relativo en $(1,-2)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{concavidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{convexidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{existan.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se deriva otra vez y se anula la segunda derivada.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=0$

El signo de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ es el de $x$:

$\text{Si }x<0:f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{c}\acute{\text{o}}\text{ncava }(\cap )$

$\text{Si }x>0:f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{convexa }(\cup )$

La función es cóncava en $(-\mathrm{\infty },0)$ y convexa en $(0,+\mathrm{\infty })$, y como en $x=0$ cambia la curvatura hay un punto de inflexión en $(0,0)$.



Se buscan primero los puntos en que la curva y la recta se cortan, que son los que delimitan la región.

$x^3-3x=x\Rightarrow x^3-4x=0\Rightarrow x(x^2-4)=0$

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ x=0\\ x=2\end{array}$

Hay tres cortes, en $(-2,-2)$, $(0,0)$ y $(2,2)$, de modo que la región tiene dos trozos: entre $-2$ y $0$ va por encima la curva y entre $0$ y $2$ va por encima la recta.



$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se comprueba con un punto intermedio cuál de las dos gráficas va por encima en cada trozo.

$\text{En }(-2,0):f(-1)-(-1)=2+1=3>0\Rightarrow \text{la curva va por encima}$

$\text{En }(0,2):f(1)-1=-2-1=-3<0\Rightarrow \text{la recta va por encima}$

Se calcula cada trozo por separado, con la diferencia $f(x)-x=x^3-4x$.

$A_1={\int }_{-2}^0(x^3-4x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^2]}_{-2}^0=0-(4-8)=4$

$A_2={\int }_0^2(4x-x^3)dx={[2x^2-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}]}_0^2=8-4=4$

$A=A_1+A_2=4+4=8{\text{u}}^2$

El área de la región delimitada por la curva y la recta es de 8 unidades de área.