Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Dadas las funciones $f(x)=x^3-6x^2+9x$ y $g(x)=x^2-x$: [2,5 puntos]

a) Obtenga sus puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]

b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [1 punto]

c) Dibuje las gráficas de ambas funciones indicando la región delimitada por ambas. [0,25 puntos]

d) Calcule el área de la región anterior. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{OX}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{OY.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se estudian las dos funciones por separado, sacando factor común.

$f(x)=x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x+9)=x(x-3{)}^2$

$f(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array},f(0)=0$

$g(x)=x^2-x=x(x-1)$

$g(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array},g(0)=0$

La curva $f$ corta a los ejes en $(0,0)$ y $(3,0)$ —en este último la raíz es doble y solo toca el eje—, y la parábola $g$ lo hace en $(0,0)$ y $(1,0)$. Las dos pasan por el origen.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{existan.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se deriva la primera función y se anula la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=9>0,f^{\mathrm{\prime }}(2)=3(1)(-1)=-3<0,f^{\mathrm{\prime }}(4)=3\cdot 3\cdot 1=9>0$



La función $f$ crece en $(-\mathrm{\infty },1)\cup (3,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(1,3)$, con un máximo relativo en $(1,4)$ y un mínimo relativo en $(3,0)$, porque $f(1)=1-6+9=4$ y $f(3)=27-54+27=0$.

Para la parábola basta su vértice.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-1=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}},g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2>0$

La función $g$ decrece en $(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{1}{2}})$ y crece en $({\displaystyle \frac{1}{2}},+\mathrm{\infty })$, con un mínimo en $({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{4}})$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{delimitada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{ambas.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se buscan primero los puntos en que las dos curvas se cortan.

$x^3-6x^2+9x=x^2-x\Rightarrow x^3-7x^2+10x=0$

$x(x^2-7x+10)=0\Rightarrow x(x-2)(x-5)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\\ x=5\end{array}$

Los tres puntos de corte son $(0,0)$, $(2,2)$ y $(5,20)$, de modo que la región delimitada tiene dos trozos.



$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se comprueba con un punto intermedio cuál de las dos gráficas va por encima en cada trozo, con la diferencia $f(x)-g(x)=x^3-7x^2+10x$.

$\text{En }(0,2):1-7+10=4>0\Rightarrow f\text{ va por encima}$

$\text{En }(2,5):27-63+30=-6<0\Rightarrow g\text{ va por encima}$

Se calcula cada trozo por separado con la primitiva $F(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{7x^3}{3}}+5x^2$.

$A_1={\int }_0^2(x^3-7x^2+10x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{7x^3}{3}}+5x^2]}_0^2$

$A_1=4-{\displaystyle \frac{56}{3}}+20={\displaystyle \frac{72-56}{3}}={\displaystyle \frac{16}{3}}$

$A_2=\mid {\int }_2^5(x^3-7x^2+10x)dx\mid =\mid F(5)-F(2)\mid$

$F(5)={\displaystyle \frac{625}{4}}-{\displaystyle \frac{875}{3}}+125=-{\displaystyle \frac{125}{12}}$

$A_2=\mid -{\displaystyle \frac{125}{12}}-{\displaystyle \frac{16}{3}}\mid =\mid -{\displaystyle \frac{189}{12}}\mid ={\displaystyle \frac{63}{4}}$

$A=A_1+A_2={\displaystyle \frac{16}{3}}+{\displaystyle \frac{63}{4}}={\displaystyle \frac{64+189}{12}}={\displaystyle \frac{253}{12}}\approx \mathrm{21,08}{\text{u}}^2$

El área de la región delimitada por las dos curvas es ${\displaystyle \frac{253}{12}}\approx \mathrm{21,08}$ unidades de área.