Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

Calcular el área encerrada bajo la curva $f(x)=x^3+3x^2-2$ y el eje OX en el intervalo $[-2,-1]$. (1 punto)

El área encerrada entre una curva y el eje de abscisas es la integral del valor absoluto de la función, así que lo primero es comprobar si la curva corta al eje dentro del intervalo $[-2,-1]$.

$x^3+3x^2-2=0$

Se tantea con los divisores del término independiente y se ve que $x=-1$ es raíz:

$(-1{)}^3+3(-1{)}^2-2=-1+3-2=0$

Dividiendo por $x+1$ se factoriza el polinomio:

$x^3+3x^2-2=(x+1)(x^2+2x-2)$

$x^2+2x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{4+8}}{2}}=-1\pm \sqrt{3}$

Las tres raíces son $x=-1$, $x=-1-\sqrt{3}\approx -\mathrm{2,73}$ y $x=-1+\sqrt{3}\approx \mathrm{0,73}$. Dentro de $[-2,-1]$ solo está $x=-1$, y es justo el extremo del intervalo: la curva no lo corta por dentro.

Se comprueba el signo con un punto interior:

$f(-\mathrm{1,5})=-\mathrm{3,375}+\mathrm{6,75}-2=\mathrm{1,375}>0$

La función es positiva en todo el intervalo, así que el área coincide con la integral definida.



$A={\int }_{-2}^{-1}(x^3+3x^2-2)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x^3-2x]}_{-2}^{-1}$

$=({\displaystyle \frac{1}{4}}-1+2)-({\displaystyle \frac{16}{4}}-8+4)={\displaystyle \frac{5}{4}}-0={\displaystyle \frac{5}{4}}$

El área encerrada bajo la curva y el eje OX en el intervalo $[-2,-1]$ es de ${\displaystyle \frac{5}{4}}=\mathrm{1,25}$ unidades cuadradas.