Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

El diseño del logo de New Summit se ajusta en altura a la gráfica de la siguiente función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2& \text{si }0\le x\le 2,\\ 5-x& \text{si }2\le x\le 5.\end{array}$



i) Calcula el valor de a. (0.75 puntos)
ii) Calcula el área de las dos regiones de distinto color distinguibles en el logo. (1.75 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El logo se dibuja de un solo trazo, sin saltos: las dos piezas de la función tienen que empalmar en $x=2$. Se impone, por tanto, que los dos trozos tomen ahí el mismo valor.

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=a\cdot 2^2=4a$

${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=5-2=3$

$4a=3\Rightarrow a={\displaystyle \frac{3}{4}}$

El valor pedido es $a={\displaystyle \frac{3}{4}}$, con lo que la altura del logo en su punto más alto es de 3 unidades.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{regiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distinto}}\mathbf{\text{color}}\mathbf{\text{distinguibles}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{logo.}}\mathbf{\text{(1.75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La región coloreada es la que queda bajo la parábola entre $x=0$ y $x=2$, y la región blanca la que queda bajo la recta entre $x=2$ y $x=5$. Las dos funciones son positivas en sus intervalos, de modo que cada área coincide con su integral definida.

${\mathcal{A}}_1={\int }_0^2{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{3}{4}}{\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_0^2={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{3}}$

${\mathcal{A}}_1=2$

${\mathcal{A}}_2={\int }_2^5(5-x)dx={[5x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_2^5$

$=(25-{\displaystyle \frac{25}{2}})-(10-2)={\displaystyle \frac{25}{2}}-8$

${\mathcal{A}}_2={\displaystyle \frac{9}{2}}=\mathrm{4,5}$

El segundo resultado se puede comprobar sin integrar: la región blanca es un triángulo rectángulo de base $5-2=3$ y altura 3, cuya área vale $\frac{3\cdot 3}{2}=\mathrm{4,5}$.

La región coloreada mide 2 unidades de área y la blanca 4,5 unidades de área; el logo entero ocupa 6,5 unidades de área.