Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

Calcula el área de las dos regiones señaladas en el siguiente dibujo: (2.5 puntos)

$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{regiones}}\mathbf{\text{se}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{aladas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{dibujo:}}\mathbf{\text{(2.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Lo primero es localizar los puntos que delimitan cada recinto. La parábola corta al eje de abscisas donde se anula:

$3x(x+2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$

Y la recta y la parábola se cortan donde toman el mismo valor:

$3x(x+2)=3(x+2)\Rightarrow 3x^2+6x=3x+6$

$3x^2+3x-6=0\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$

$x=-2\Rightarrow y=0;x=1\Rightarrow y=3\cdot 3=9$

Las dos curvas se cortan, pues, en $(-2,0)$ y en $(1,9)$.

La región oscura es la que la parábola encierra con el eje de abscisas entre $x=-2$ y $x=0$. Ahí la parábola queda por debajo del eje, así que el integrando es el eje menos la curva:

${\mathcal{A}}_1={\int }_{-2}^0[0-(3x^2+6x)]dx=-{[x^3+3x^2]}_{-2}^0$

$=-[0-(-8+12)]=4$

La región clara está limitada por arriba por la recta en todo su ancho, y por abajo por el eje de abscisas hasta $x=0$ y por la parábola a partir de ahí. Se parte la integral en esos dos tramos:

${\mathcal{A}}_2={\int }_{-2}^{0}3(x+2)dx+{\int }_0^1[3(x+2)-3x(x+2)]dx$

${\int }_{-2}^0(3x+6)dx={[{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+6x]}_{-2}^0=0-(6-12)=6$

${\int }_0^1(6-3x-3x^2)dx={[6x-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-x^3]}_0^1=6-{\displaystyle \frac{3}{2}}-1={\displaystyle \frac{7}{2}}$

${\mathcal{A}}_2=6+{\displaystyle \frac{7}{2}}={\displaystyle \frac{19}{2}}$

La región oscura mide 4 unidades de área y la clara ${\displaystyle \frac{19}{2}}=\mathrm{9,5}$ unidades de área. Entre las dos suman ${\displaystyle \frac{27}{2}}$, que es justamente el área total encerrada entre la recta y la parábola de $x=-2$ a $x=1$.