Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Calcula el área de la región sombreada en la siguiente figura: (2.5 puntos)

$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sombreada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{figura:}}\mathbf{\text{(2.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La región está limitada por arriba por la parábola $y=1-x^2$ y por abajo por la recta horizontal que pasa por el punto de la parábola de abscisa $x=\frac{1}{2}$, que es la que dibuja la figura. Lo primero es calcular la altura de esa recta.

$y_0=1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

La recta es, por tanto, $y={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Los extremos del recinto son los puntos en que corta a la parábola:

$1-x^2={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow x=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$

El recinto va, pues, de $x=-\frac{1}{2}$ a $x=\frac{1}{2}$, y su área es la integral de la diferencia entre la función de arriba y la de abajo.

$\mathcal{A}={\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}[(1-x^2)-{\displaystyle \frac{3}{4}}]dx={\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2)dx$

El integrando es una función par y el intervalo es simétrico, así que basta integrar de 0 a $\frac{1}{2}$ y multiplicar por dos:

$\mathcal{A}=2{[{\displaystyle \frac{x}{4}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^{1\mathrm{/}2}=2({\displaystyle \frac{1}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{24}})$

$=2\cdot {\displaystyle \frac{3-1}{24}}=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$

El área de la región sombreada es de ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ unidades de área.